Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
a) integral0^2 integral0^4-2 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração definida pela integral integral0^2integral0^4-2x y,dy,dx, inverter a ordem de integração e calcular o valor resultante. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, onde vamos usar conceitos de geometria de regiões planas e mudança na ordem de integração.

Passo 2

A região D no plano xy é dada por 0<= x<= 2 e 0<= y<= 4-2x. Para esboçá-la, notamos que a reta limite é y=4-2x, que intercepta os eixos em (0,4) e (2,0). A região é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, identificamos que y varia de 0 até 4 (o ponto mais alto do triângulo) e, para um dado y, x vai de 0 até o valor que satisfaz y=4-2x, ou seja x=(4-y)/2. Assim a integral invertida fica
integraly=0^4integralx=0^4-y2 y ,dx,dy

Passo 4

Agora calculamos
integral0^4integral0^4-y2 y ,dx,dy
Primeiro, integramos em x, obtendo
integral0^4yl[xr]0^4-y2,dy=integral0^4ycdot4-y2,dy=12integral0^4(4y-y^2),dy
Em seguida,
integral0^4(4y-y^2),dy=l[2y^2-tfracy^33r]0^4=32-tfrac643=tfrac323
Multiplicando por tfrac12 resulta tfrac163.

Resposta

16/3

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