Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração definida pela integral
, inverter a ordem de integração e calcular o valor resultante. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, onde vamos usar conceitos de geometria de regiões planas e mudança na ordem de integração.
Passo 2
A região
no plano
é dada por
e
. Para esboçá-la, notamos que a reta limite é
, que intercepta os eixos em
e
. A região é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, identificamos que
varia de 0 até 4 (o ponto mais alto do triângulo) e, para um dado
,
vai de 0 até o valor que satisfaz
, ou seja
. Assim a integral invertida fica
Passo 4
Agora calculamos
Primeiro, integramos em
Em seguida,
Multiplicando por