Faça um esboço do gráfico de
, determinando o seguinte: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 1 $. Para isso, precisamos identificar:
- Extremos relativos: pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
- Pontos de inflexão: pontos onde a concavidade do gráfico muda.
- Intervalos de crescimento e decrescimento: onde a função está aumentando ou diminuindo.
- Concavidade: onde o gráfico está “sorrindo” para cima ou para baixo.
Vamos usar cálculo diferencial pra isso, especificamente derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função $ f(x) $, que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os extremos relativos. A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os extremos relativos, precisamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Resolvendo a equação quadrática dentro do parênteses:
Então, as raízes são:
Juntando com $ x = 0 $, temos os críticos em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos analisar o sinal da derivada em intervalos separados pelos pontos críticos.
-
Intervalo $ x < -1 $:
Escolha $ x = -2 $: -
Intervalo $ -1 < x < 0 $:
Escolha $ x = -0.5 $: -
Intervalo $ 0 < x < 2 $:
Escolha $ x = 1 $: -
Intervalo $ x > 2 $:
Escolha $ x = 3 $:
Conclusão sobre os extremos:
- Em $ x = -1 $: a derivada muda de negativa para positiva, então é um mínimo relativo.
- Em $ x = 0 $: a derivada muda de positiva para negativa, então é um máximo relativo.
- Em $ x = 2 $: a derivada muda de negativa para positiva, então é um mínimo relativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada segunda para determinar a concavidade e os pontos de inflexão. A derivada segunda de $ f(x) $ é:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
Então, os pontos de inflexão estão em $ x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $ e $ x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3} $.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade dividindo a linha dos números nos intervalos determinados pelos pontos de inflexão.
-
Intervalo $ x < \frac{1 - \sqrt{7}}{3} $:
Escolha $ x = -1 $: -
Intervalo $ \frac{1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $:
Escolha $ x = 0 $: -
Intervalo $ x > \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $:
Escolha $ x = 2 $:
Conclusão sobre a concavidade:
- Côncavo para cima em $ (-\infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) $ e $ (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty) $.
- Côncavo para baixo em $ (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) $.
Resposta
Resumindo, o gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 1 $ possui:
-
Extremos Relativos:
- Mínimo relativo em $ x = -1 $.
- Máximo relativo em $ x = 0 $.
- Mínimo relativo em $ x = 2 $.
-
Pontos de Inflexão:
- Em $ x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3} $.
- Em $ x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $.
-
Intervalos de Crescimento:
- $ (-1, 0) $ e $ (2, \infty) $.
-
Intervalos de Decrescimento:
- $ (-\infty, -1) $ e $ (0, 2) $.
-
Concavidade:
- Côncavo para cima em $ (-\infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) $ e $ (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty) $.
- Côncavo para baixo em $ (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) $.
Com essas informações, dá pra esboçar o gráfico da função destacando os pontos mencionados e as variações de crescimento, decrescimento e concavidade.