Faça um esboço do gráfico de f, determinando o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
f(x)=14 x^4-13 x^3-x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço do gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 1 $. Para isso, precisamos identificar:
  • Extremos relativos: pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
  • Pontos de inflexão: pontos onde a concavidade do gráfico muda.
  • Intervalos de crescimento e decrescimento: onde a função está aumentando ou diminuindo.
  • Concavidade: onde o gráfico está “sorrindo” para cima ou para baixo.
Vamos usar cálculo diferencial pra isso, especificamente derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função $ f(x) $, que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os extremos relativos. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, para encontrar os extremos relativos, precisamos resolver $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Resolvendo a equação quadrática dentro do parênteses:
x^3 - x^2 - 2x = 0 x(x^2 - x - 2) = 0
Então, as raízes são:
x^2 - x - 2 = 0 De
Juntando com $ x = 0 $, temos os críticos em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos analisar o sinal da derivada em intervalos separados pelos pontos críticos.
  • Intervalo $ x < -1 $:
    Escolha $ x = -2 $:
    x < -1
  • Intervalo $ -1 < x < 0 $:
    Escolha $ x = -0.5 $:
    x = -2
  • Intervalo $ 0 < x < 2 $:
    Escolha $ x = 1 $:
    f'(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - 2(-2) = -8 - 4 + 4 = -8 < 0 Rightarrow Decrescente
  • Intervalo $ x > 2 $:
    Escolha $ x = 3 $:
    -1 < x < 0
Conclusão sobre os extremos:
  • Em $ x = -1 $: a derivada muda de negativa para positiva, então é um mínimo relativo.
  • Em $ x = 0 $: a derivada muda de positiva para negativa, então é um máximo relativo.
  • Em $ x = 2 $: a derivada muda de negativa para positiva, então é um mínimo relativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada segunda para determinar a concavidade e os pontos de inflexão. A derivada segunda de $ f(x) $ é:
f(x)
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = ddx( x^3 - x^2 - 2x ) = 3x^2 - 2x - 2
Então, os pontos de inflexão estão em $ x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $ e $ x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3} $.

Passo 6

Vamos analisar a concavidade dividindo a linha dos números nos intervalos determinados pelos pontos de inflexão.
  • Intervalo $ x < \frac{1 - \sqrt{7}}{3} $:
    Escolha $ x = -1 $:
    x < 1 - raiz73 ô
  • Intervalo $ \frac{1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $:
    Escolha $ x = 0 $:
    x = -1 ô
  • Intervalo $ x > \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $:
    Escolha $ x = 2 $:
    f''(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 2 = 3 + 2 - 2 = 3 > 0 Rightarrow Côncavo para cima ô
Conclusão sobre a concavidade:
  • Côncavo para cima em $ (-\infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) $ e $ (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty) $.
  • Côncavo para baixo em $ (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) $.

Resposta

Resumindo, o gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 1 $ possui:
  • Extremos Relativos:
    • Mínimo relativo em $ x = -1 $.
    • Máximo relativo em $ x = 0 $.
    • Mínimo relativo em $ x = 2 $.
  • Pontos de Inflexão:
    • Em $ x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3} $.
    • Em $ x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3} $.
  • Intervalos de Crescimento:
    • $ (-1, 0) $ e $ (2, \infty) $.
  • Intervalos de Decrescimento:
    • $ (-\infty, -1) $ e $ (0, 2) $.
  • Concavidade:
    • Côncavo para cima em $ (-\infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) $ e $ (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty) $.
    • Côncavo para baixo em $ (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) $.
Com essas informações, dá pra esboçar o gráfico da função destacando os pontos mencionados e as variações de crescimento, decrescimento e concavidade.

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