Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis
O conteúdo aqui é reconhecimento de um paraboloide hiperbólico (sela), para o qual usaremos curvas de nível e cortes por planos coordenados.
Passo 2
Vamos analisar as curvas de nível definidas por
onde
é constante.
- Se
, temos
que são hipérboles com eixos paralelos ao eixo
.
- Se
, escrevendo com ,
são hipérboles com eixos paralelos ao eixo
.
- Se
, a curva degenera nas retas
Passo 3
Agora façamos cortes por planos coordenados para entender a geometria 3D.
- Plano
:
que é uma parábola no plano
abrindo para baixo.
- Plano
:
que é uma parábola no plano
abrindo para cima.
Passo 4
Observamos que ao longo das retas
e
temos
ou seja, a superfície toca o plano
nessas duas direções. Essas retas são as “cristas” e “vales” da sela.
Passo 5
Com as curvas de nível hiperbólicas e as parábolas nos cortes, concluímos que o gráfico é um paraboloide hiperbólico (sela):
- Em direção ao eixo
a superfície abre para cima. - Em direção ao eixo
a superfície abre para baixo. - As retas
são linhas de sela onde .
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide hiperbólico (sela), com curvas de nível hipérboles e cortes parabólicos conforme descrito.