Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolvido é superfícies em
, em particular paraboloides. Vamos usar o conceito de curvas de nível e seções planas para entender a forma do gráfico.
Passo 2
Estudamos primeiro as curvas de nível de
. Para cada constante
, temos
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
. À medida que
cresce, as elipses se expandem.
Passo 3
Agora olhamos seções planas ao longo de direções principais:
- Seção em plano
:
que é uma parábola usual em
, abrindo para cima, com vértice em
.
- Seção em plano
:
que também é uma parábola em
, mas “mais estreita”, pois cresce mais rapidamente (coeficiente
).
Passo 4
Com as curvas de nível elípticas e as parábolas nas seções
e
, concluímos que o gráfico é um paraboloide elíptico que:
- Tem vértice na origem
. - Abre-se para cima (à medida que
cresce, cresce). - É mais “esticado” na direção do eixo
(coeficiente 1) e “mais íngreme” na direção do eixo (coeficiente 9).
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe algumas elipses horizontais
para no plano . - Marque que todas têm centro na projeção da origem e crescem conforme
aumenta. - Ligue suavemente essas elipses de modo a formar uma superfície contínua que se abre para cima.
Resposta
O gráfico de
; é um paraboloide elíptico com vértice na origem, aberto para cima, cujas curvas de nível são elipses
.