Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=x^{2}+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y) = x^{2} + 9\,y^{2}.
O conteúdo envolvido é superfícies em \mathbb{R}^{3}, em particular paraboloides. Vamos usar o conceito de curvas de nível e seções planas para entender a forma do gráfico.

Passo 2

Estudamos primeiro as curvas de nível de f. Para cada constante c\ge0, temos
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+9\,y^{2}=c.
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento \sqrt{c} e semi-eixo em y de comprimento \sqrt{c}/3. À medida que c cresce, as elipses se expandem.

Passo 3

Agora olhamos seções planas ao longo de direções principais:
  1. Seção em plano y=0:
f(x,0)=x^{2},
que é uma parábola usual em x, abrindo para cima, com vértice em (0,0,0).
  1. Seção em plano x=0:
f(0,y)=9\,y^{2},
que também é uma parábola em y, mas “mais estreita”, pois cresce mais rapidamente (coeficiente 9).

Passo 4

Com as curvas de nível elípticas e as parábolas nas seções y=0 e x=0, concluímos que o gráfico é um paraboloide elíptico que:
  • Tem vértice na origem (0,0,0).
  • Abre-se para cima (à medida que |(x,y)| cresce, z=f(x,y) cresce).
  • É mais “esticado” na direção do eixo x (coeficiente 1) e “mais íngreme” na direção do eixo y (coeficiente 9).

Passo 5

Para esboçar:
  • Desenhe algumas elipses horizontais x^{2}+9y^{2}=c para c=1,2,3,\dots no plano z=c.
  • Marque que todas têm centro na projeção da origem e crescem conforme c aumenta.
  • Ligue suavemente essas elipses de modo a formar uma superfície contínua que se abre para cima.

Resposta

O gráfico de \;f(x,y)=x^{2}+9y^{2}; é um paraboloide elíptico com vértice na origem, aberto para cima, cujas curvas de nível são elipses x^{2}+9y^{2}=c.

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