Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função \;f(x,y)=e^{-x}\;.
Informações fornecidas explicitamente:
f(x,y)=e^{-x}.
Informações implícitas que já podemos anotar sem resolver nada ainda:
  • As variáveis são x e y.
  • O valor da função é z=f(x,y), portanto o gráfico será uma superfície no espaço \mathbb{R}^3 descrita por z=e^{-x}.
  • Não há dependência explícita de y na fórmula.

Passo 2

Domínio e imagem (faixa de valores): vamos entender o que a fórmula nos diz sobre onde a função está definida e quais valores ela toma.
A função exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Aqui t=-x, logo a função está definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2. Portanto o domínio é
\text{Domínio}=\mathbb{R}^2.í
Quanto à imagem: e^{-x}>0 para todo x. Conforme x\to+\infty temos e^{-x}\to0 e conforme x\to-\infty temos e^{-x}\to+\infty. Assim a imagem é
\text{Imagem}=(0,\infty).

Passo 3

Comportamento em relação a x e y (o que a fórmula nos faz perceber):
  • Em x, a função decresce exponencialmente porque a derivada em x é negativa (vou calcular isso mais adiante). Intuitivamente, à medida que x aumenta, e^{-x} diminui rápido para perto de zero.
  • Em y, a função não varia: para um mesmo x qualquer, mudar y não altera z. Isso quer dizer que a superfície é obtida “esticando” a curva z=e^{-x} no sentido do eixo y.

Passo 4

Curvas de nível (contornos) — muito úteis para esboçar:
Curvas de nível são dadas por f(x,y)=c para um c>0 fixo. Aqui temos
e^{-x}=c \quad\Longrightarrow\quad x=-\ln c.
Note que a equação obtida não envolve y, então a curva de nível para um valor c é a reta vertical
x=-\ln c,
paralela ao eixo y. Exemplos numéricos (peguei valores fáceis para visualizar):
  • Para c=1: x=0.
  • Para c=\tfrac12: x=-\ln\!\big(\tfrac12\big)=\ln 2\approx 0,693.
  • Para c=2: x=-\ln 2\approx -0,693.
    Essas retas verticais indicam que os níveis são “faixas” de altura constante ao longo do eixo y.

Passo 5

Seções transversais em planos fixos — eu gosto de desenhar essas para visualizar a forma da superfície:
  • Para y fixo (por exemplo y=0): a seção no plano y=0 é a curva em (x,z) dada por
z=e^{-x},
que é a exponencial decrescente padrão. Posição de pontos importantes: x=0\Rightarrow z=1; x=1\Rightarrow z=e^{-1}\approx 0,3679; x=-1\Rightarrow z=e\approx 2,718.
  • Para x fixo (por exemplo x=x_0): a seção no plano vertical contendo o eixo y é uma reta paralela ao eixo y com altura
z=e^{-x_0},
ou seja, para esse x_0 o valor de z é constante para todo y. Isso mostra que a superfície é “plana” na direção y.

Passo 6

Construção do esboço a partir das seções:
  1. Primeiro desenhe o eixo x (horizontal), o eixo z (vertical) e represente o eixo y saindo para dentro/fora da página (um pouco inclinado).
  2. No plano y=0 desenhe a curva z=e^{-x} — começa alta quando x é negativo e decresce passando por (0,1) e aproximando-se de z=0 quando x cresce.
  3. Agora imagine extrudar essa curva ao longo do eixo y: para cada ponto da curva você “puxa” uma linha paralela a y. O resultado é uma superfície em forma de cortina/folha que se estende indefinidamente ao longo do eixo y.

Passo 7

Assíntotas e interceptos — o que procurar ao desenhar:
  • Não há intercepto com o plano z=0; a superfície nunca toca z=0. O plano z=0 é uma assíntota quando x\to+\infty.
  • A linha de pontos com x=0 forma uma linha no espaço dada por \{(0,y,1)\mid y\in\mathbb{R}\}: é uma reta paralela a y no nível z=1.
  • Para x\to-\infty, z\to+\infty, ou seja a superfície sobe sem limite na direção negativa de x.

Passo 8

Derivadas parciais e inclinação — interpretação geométrica (útil para entender inclinações ao desenhar):
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=-e^{-x},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Significado:
  • \frac{\partial f}{\partial x}=-e^{-x}<0 mostra que a superfície tem inclinação negativa na direção positiva de x: movendo-se no sentido de x crescente, z diminui. A inclinação absoluta diminui conforme x cresce (porque e^{-x} fica pequeno).
  • \frac{\partial f}{\partial y}=0 indica que não há variação na direção y: a superfície é plana nessa direção.

Passo 9

Dicas práticas para esboçar na prova (passo a passo que eu usaria ao rabiscar rápido):
  1. Desenhe e marque os três eixos x, y, z.
  2. No plano y=0 faça a curva exponencial z=e^{-x}: marque pontos (0,1), (1,e^{-1}), (-1,e).
  3. Desenhe algumas linhas paralelas ao eixo y passando por pontos dessa curva (por exemplo pelas marcas que você fez). Essas linhas mostram que para cada x a altura é constante ao longo de y.
  4. Adicione algumas curvas de nível projetadas no plano xy: retas x=\text{const} correspondendo a alturas específicas.
  5. Somente um lembrete visual: faça a superfície parecer uma cortina — alta à esquerda (x negativo) e caindo para próximo de zero à direita (x positivo), estendida ao longo de y.

Resposta

Superfície em \mathbb{R}^3 descrita por z=e^{-x}; domínio \mathbb{R}^2; imagem (0,\infty); curvas de nível são as retas x=-\ln c (paralelas ao eixo y); seção em y=const é z=e^{-x} (exponencial decrescente); seção em x=const é reta horizontal z=e^{-x_0}; assíntota para x\to+\infty é o plano z=0.

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