Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
Informações fornecidas explicitamente:
Informações fornecidas explicitamente:
Informações implícitas que já podemos anotar sem resolver nada ainda:
- As variáveis são
e . - O valor da função é
, portanto o gráfico será uma superfície no espaço descrita por . - Não há dependência explícita de
na fórmula.
Passo 2
Domínio e imagem (faixa de valores): vamos entender o que a fórmula nos diz sobre onde a função está definida e quais valores ela toma.
A função exponencial está definida para todo
. Aqui
, logo a função está definida para todo par
. Portanto o domínio é
A função exponencial
Quanto à imagem:
para todo
. Conforme
temos
e conforme
temos
. Assim a imagem é
Passo 3
Comportamento em relação a
e
(o que a fórmula nos faz perceber):
- Em
, a função decresce exponencialmente porque a derivada em é negativa (vou calcular isso mais adiante). Intuitivamente, à medida que aumenta, diminui rápido para perto de zero. - Em
, a função não varia: para um mesmo qualquer, mudar não altera . Isso quer dizer que a superfície é obtida “esticando” a curva no sentido do eixo .
Passo 4
Curvas de nível (contornos) — muito úteis para esboçar:
Curvas de nível são dadas por para um
fixo. Aqui temos
Curvas de nível são dadas por
Note que a equação obtida não envolve
, então a curva de nível para um valor
é a reta vertical
paralela ao eixo
. Exemplos numéricos (peguei valores fáceis para visualizar):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Essas retas verticais indicam que os níveis são “faixas” de altura constante ao longo do eixo.
Passo 5
Seções transversais em planos fixos — eu gosto de desenhar essas para visualizar a forma da superfície:
- Para
fixo (por exemplo ): a seção no plano é a curva em dada por
que é a exponencial decrescente padrão. Posição de pontos importantes:
;
;
.
- Para
fixo (por exemplo ): a seção no plano vertical contendo o eixo é uma reta paralela ao eixo com altura
ou seja, para esse
o valor de
é constante para todo
. Isso mostra que a superfície é “plana” na direção
.
Passo 6
Construção do esboço a partir das seções:
- Primeiro desenhe o eixo
(horizontal), o eixo (vertical) e represente o eixo saindo para dentro/fora da página (um pouco inclinado). - No plano
desenhe a curva — começa alta quando é negativo e decresce passando por e aproximando-se de quando cresce. - Agora imagine extrudar essa curva ao longo do eixo
: para cada ponto da curva você “puxa” uma linha paralela a . O resultado é uma superfície em forma de cortina/folha que se estende indefinidamente ao longo do eixo .
Passo 7
Assíntotas e interceptos — o que procurar ao desenhar:
- Não há intercepto com o plano
; a superfície nunca toca . O plano é uma assíntota quando . - A linha de pontos com
forma uma linha no espaço dada por : é uma reta paralela a no nível . - Para
, , ou seja a superfície sobe sem limite na direção negativa de .
Passo 8
Derivadas parciais e inclinação — interpretação geométrica (útil para entender inclinações ao desenhar):
Calculemos as derivadas parciais:
Calculemos as derivadas parciais:
Significado:
-
mostra que a superfície tem inclinação negativa na direção positiva de : movendo-se no sentido de crescente, diminui. A inclinação absoluta diminui conforme cresce (porque fica pequeno). -
indica que não há variação na direção : a superfície é plana nessa direção.
Passo 9
Dicas práticas para esboçar na prova (passo a passo que eu usaria ao rabiscar rápido):
- Desenhe e marque os três eixos
, , . - No plano
faça a curva exponencial : marque pontos , , . - Desenhe algumas linhas paralelas ao eixo
passando por pontos dessa curva (por exemplo pelas marcas que você fez). Essas linhas mostram que para cada a altura é constante ao longo de . - Adicione algumas curvas de nível projetadas no plano
: retas correspondendo a alturas específicas. - Somente um lembrete visual: faça a superfície parecer uma cortina — alta à esquerda (x negativo) e caindo para próximo de zero à direita (x positivo), estendida ao longo de
.
Resposta
Superfície em
descrita por
; domínio
; imagem
; curvas de nível são as retas
(paralelas ao eixo
); seção em
const é
(exponencial decrescente); seção em
const é reta horizontal
; assíntota para
é o plano
.