Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y)=\ln (x y-1)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x,y)=\ln(xy-1). Como é um logaritmo natural, precisamos que o argumento esteja estritamente positivo.

Passo 2

Impondo a condição de existência, temos
xy - 1 > 0
ou seja
xy > 1.

Passo 3

Para entender a região xy>1, considere a curva de nível
xy = 1,
que é uma hipérbole com duas ramos, um no primeiro quadrante e outro no terceiro.
  • Se x>0, dividindo por x (positivo) obtém-se y>1/x.
  • Se x<0, ao dividir por x (negativo) a desigualdade inverte-se, dando y<1/x.
    Portanto, o conjunto solução é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy>1\},
isto é, os pontos acima da hipérbole no primeiro quadrante e abaixo da hipérbole no terceiro quadrante.

Passo 4

Para esboçar, desenhe a hipérbole xy=1. A região xy>1 fica “para fora” dos ramos: no primeiro quadrante acima da curva e no terceiro quadrante abaixo da curva.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy>1\}.

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