Exercício 3 Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
\int_{-2}^{2} \frac{4}{1+u^{2}} d u.

Passo 1

O enunciado pede estimar por cima e por baixo a integral
\int_{-2}^{2} \frac{4}{1+u^{2}}\,du.
O conteúdo envolvido é a estimação de integrais definidas usando cotas para o integrando num intervalo compacto.

Passo 2

Considere a função f(u)=\frac{4}{1+u^{2}} em [-2,2]. Como u^{2} é mínimo em u=0 e máximo em \lvert u\rvert=2, temos
\min_{[-2,2]}f(u)=f(2)=\frac{4}{1+2^{2}}=\frac{4}{5},
\max_{[-2,2]}f(u)=f(0)=\frac{4}{1+0} = 4.

Passo 3

Para qualquer função integrável f em [a,b] vale
\min_{[a,b]}f\cdot (b-a)\;\le\;\int_{a}^{b}f(u)\,du\;\le\;\max_{[a,b]}f\cdot (b-a).
Aqui a=-2, b=2, b-a=4, \min f=\tfrac{4}{5} e \max f=4. Logo,
\frac{4}{5}\cdot 4 \;\le\;\int_{-2}^{2}\frac{4}{1+u^{2}}\,du\;\le\;4\cdot 4.

Passo 4

Bastam multiplicar para obter
\frac{16}{5}=3{,}2\le \int_{-2}^{2}\frac{4}{1+u^{2}}\,du\le 16.

Resposta

\frac{16}{5}\;\le\;\int_{-2}^{2}\frac{4}{1+u^{2}}\,du\;\le\;16.

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