Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
ou, se preferir em palavras: decidir se essa integral converge e, caso convergente, encontrar o seu valor. Informação dada: a função integranda é
e o intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa calcular uma integral imprópria com infinito no limite: definimos
Portanto, nosso trabalho é calcular a integral definida
em termos de
e depois tomar o limite quando
. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge.
Passo 3
Para integrar
é útil fazer a substituição que transforma
numa soma do tipo
. Tome
Então temos
e
. Quando
temos
e quando
temos
. Substituindo na integral definida:
Passo 4
Simplificando o integrando:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos da primitiva de
. Lembrando uma fórmula básica de cálculo:
Isso nos diz que uma primitiva de
é
. Então, avaliando a integral definida,
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Sabendo que
, temos
. Assim o limite é finito e a integral converge.
Passo 7
Concluímos que a integral converge porque o limite existe e é finito. (Observação alternativa — para intuição: para
vale
e
converge, então por comparação a integral dada também converge.)