\int_{2}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9}
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+9},
ou, se preferir em palavras: decidir se essa integral converge e, caso convergente, encontrar o seu valor. Informação dada: a função integranda é x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}+9} e o intervalo de integração é [2,+\infty), ou seja, a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa calcular uma integral imprópria com infinito no limite: definimos
\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+9}=\lim_{b\to+\infty}\int_{2}^{b}\frac{dx}{x^{2}+9}.
Portanto, nosso trabalho é calcular a integral definida \displaystyle\int_{2}^{b}\frac{dx}{x^{2}+9} em termos de b e depois tomar o limite quando b\to+\infty. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge.

Passo 3

Para integrar \dfrac{1}{x^{2}+9} é útil fazer a substituição que transforma x^{2}+9 numa soma do tipo u^{2}+1. Tome
u=\frac{x}{3}.
Então temos x=3u e dx=3\,du. Quando x=2 temos u=\dfrac{2}{3} e quando x=b temos u=\dfrac{b}{3}. Substituindo na integral definida:
\int_{2}^{b}\frac{dx}{x^{2}+9} =\int_{u=2/3}^{u=b/3}\frac{3\,du}{(3u)^{2}+9} =\int_{2/3}^{b/3}\frac{3\,du}{9u^{2}+9}.

Passo 4

Simplificando o integrando:
\frac{3}{9u^{2}+9}=\frac{3}{9(u^{2}+1)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{u^{2}+1}.
Portanto
\int_{2}^{b}\frac{dx}{x^{2}+9}=\frac{1}{3}\int_{2/3}^{b/3}\frac{du}{u^{2}+1}.

Passo 5

Agora precisamos da primitiva de \dfrac{1}{u^{2}+1}. Lembrando uma fórmula básica de cálculo:
\frac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isso nos diz que uma primitiva de \dfrac{1}{u^{2}+1} é \arctan u. Então, avaliando a integral definida,
\int_{2}^{b}\frac{dx}{x^{2}+9} =\frac{1}{3}\bigl[\arctan u\bigr]_{u=2/3}^{u=b/3} =\frac{1}{3}\bigl(\arctan\!\tfrac{b}{3}-\arctan\!\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando b\to+\infty:
\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+9} =\lim_{b\to+\infty}\frac{1}{3}\bigl(\arctan\!\tfrac{b}{3}-\arctan\!\tfrac{2}{3}\bigr).
Sabendo que \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\arctan t=\frac{\pi}{2}, temos \displaystyle\lim_{b\to+\infty}\arctan\!\tfrac{b}{3}=\frac{\pi}{2}. Assim o limite é finito e a integral converge.

Passo 7

Concluímos que a integral converge porque o limite existe e é finito. (Observação alternativa — para intuição: para x\ge2 vale \dfrac{1}{x^{2}+9}\le\dfrac{1}{x^{2}} e \int_{2}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^{2}} converge, então por comparação a integral dada também converge.)

Resposta

\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+9}=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\!\tfrac{2}{3}\right)

Exercícios relacionados