a) Esboce o gráfico da função f(x)=ll1x & ; se x<0 3 & ; se =0 x & ; se 0<x<1 log 12 x & se x>1 e determine:
b) O domínio e a imagem f(x);
c) Se existir, lim x 0^- f(x) ; lim x 0^+ f(x) ; lim x 0 f(x) ; lim x 1^- f(x) ; lim x 1^+ f(x) ; lim x 1 f(x) ; lim x -infty f(x) ; lim x +infty f(x);
d) Se f(x) é contínua em x=0 e em x=1.
e) Se f(x) é contínua. Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= dfrac1x,&x<0, 3,&x=0, x,&0<x<1, logtfrac12x,&x>1,
e pede (a) esboçar o gráfico, (b) domínio e imagem, (c) vários limites e (d–e) analisar continuidade. Para resolver usamos noções de gráfico de função por partes, cálculo de limites e definição de continuidade.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, analisamos cada ramo:
  • Para x<0 temos a hipérbole y=1/x, com assíntotas em x=0 e y=0.
  • Em x=0 há um ponto isolado de coordenada (0,3).
  • Para 0<x<1 o gráfico é a reta y=x, que vai de um ponto aberto em (0,0) até um ponto aberto em (1,1).
  • Para x>1 o gráfico é a curva y=logtfrac12x, estritamente decrescente, com limxto1^+y=0 e limxto+inftyy=-infty.

Passo 3

O domínio de é a união dos intervalos em que cada ramo está definido, ou seja

Passo 4

A imagem de cada ramo é:
  • Para x<0, f(x)=1/x atinge todos os valores negativos, isto é (-infty,0).
  • Em x=0, f(0)=3.
  • Para 0<x<1, f(x)=x varia em (0,1).
  • Para x>1, logtfrac12x também assume todos os valores em (-infty,0).
    Logo
Im(f)=(-infty,0);cup;(0,1);cup;3

Passo 5

Calculamos os limites:
1. limxto0^-f(x)=limxto0^-1x=-infty 2. limxto0^+f(x)=limxto0^+x=0
Logo limxto0f(x) não existe.
3. limxto1^-f(x)=limxto1^-x=1 4. limxto1^+f(x)=limxto1^+logtfrac12x=logtfrac121=0
Logo limxto1f(x) também não existe.
5. limxto-inftyf(x)=limxto-infty1x=0 6. limxto+inftyf(x)=limxto+inftylogtfrac12x=-infty

Passo 6

Para continuidade em um ponto a precisamos que a pertença ao domínio, que o limite em a exista e iguale f(a).
  • Em x=0: temos lim0^-f=-inftyneqlim0^+f=0neq f(0)=3. Logo f não é contínua em 0.
  • Em x=1: o ponto 1 não está no domínio, portanto f não é contínua em 1.

Passo 7

Dentro de cada ramo (em (-infty,0), em (0,1) e em (1,infty)) a função é dada por expressões contínuas ( 1/x, x e logtfrac12x), mas há descontinuidades em 0 e em 1. Assim f não é contínua em todo R.

Resposta

a) Gráfico composto por: hipérbole para ; ponto isolado ; reta em ; curva decrescente para .
b) , .
c) , , não existe;
, , não existe;
, .
d) não é contínua em (limites laterais diferentes e não igualam ) nem em (ponto fora do domínio).
e) Portanto não é contínua em todo .

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