Questão 2: (20Pts) Seja an uma sequência definida por a1=2 e an+1=34-an, n >= 1.
a) ( 2 P t s ) Encontre os três primeiros termos da sequência an.
b) ( 6 Pts) Um aluno afirmou que 1 <= an <= 3. Se ele estiver falando a verdade, prove! Caso contrário, justifique!
c) ( 6 P t s ) Mostre que an+1 <= an.
d) ( 6 P t s ) A sequência an converge? Se sim, encontre seu limite. Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
a1=2, an+1=34 - an,; n>=1
Precisamos de:
a) calcular os três primeiros termos;
b) verificar se 1<= an<=3 para todo n;
c) mostrar que an+1<= an;
d) decidir se an converge e, em caso afirmativo, achar seu limite.
Usaremos cálculo direto, indução, análise de monotonia e propriedade de limite de sequência.

Passo 2

(a) Cálculo dos três primeiros termos:
a1 = 2,
a2 = 34 - a1 = 34 - 2 = 32,
a3 = 34 - a2 = 34 - tfrac32 = 3tfrac52 = 65

Passo 3

(b) Prova por indução de 1<= an<=3.
Base ( n=1): a1=2 satisfaz 1<=2<=3.
Passo indutivo: suponha 1<= ak<=3. Então
4 - ak>=4 - 3 =1 Longrightarrow ak+1 = 34 - ak<= 31=3,
4 - ak<=4 - 1 =3 Longrightarrow ak+1 = 34 - ak>= 33=1
Logo 1<= ak+1<=3. Por indução, vale para todo n.

Passo 4

(c) Mostrar an+1<= an. Como 1<= an<=3, temos equivalência
an+1<= an ;Long<=ftrightarrow; 34 - an<= an ;Long<=ftrightarrow; 3 <= an,(4 - an) ;Long<=ftrightarrow; an^2 -4an +3 <=0 ;Long<=ftrightarrow; (an-1)(an-3)<=0,
o que é verdade pois 1<= an<=3. Assim an+1<= an.

Passo 5

(d) Convergência e limite. A sequência é monótona decrescente e limitada inferiormente por 1, logo converge a algum limite L. Fazendo
L=34-L Longrightarrow L(4-L)=3 Long<=ftrightarrow L^2-4L+3=0 Long<=ftrightarrow Lin1,3
Como an<= a1=2, o limite não pode ser 3. Portanto L=1.

Resposta

a) a1=2,;a2=tfrac32,;a3=tfrac65
b) A afirmação é verdadeira: por indução vê-se que 1<= an<=3 para todo n.
c) Para todo n tem-se an+1<= an.
d) A sequência é decrescente e limitada, logo converge, e seu limite é 1.

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