Questão 2: (20Pts) Seja
uma sequência definida por
e
.
a) (
) Encontre os três primeiros termos da sequência
.
b) ( 6 Pts) Um aluno afirmou que
. Se ele estiver falando a verdade, prove! Caso contrário, justifique!
c) (
) Mostre que
.
d) (
) A sequência
converge? Se sim, encontre seu limite. Justifique sua resposta!
a) (
b) ( 6 Pts) Um aluno afirmou que
c) (
d) (
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Precisamos de:
a) calcular os três primeiros termos;
b) verificar se para todo
;
c) mostrar que ;
d) decidir se converge e, em caso afirmativo, achar seu limite.
Usaremos cálculo direto, indução, análise de monotonia e propriedade de limite de sequência.
a) calcular os três primeiros termos;
b) verificar se
c) mostrar que
d) decidir se
Usaremos cálculo direto, indução, análise de monotonia e propriedade de limite de sequência.
Passo 2
(a) Cálculo dos três primeiros termos:
Passo 3
(b) Prova por indução de
.
Base ( ):
satisfaz
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base (
Passo indutivo: suponha
Logo
. Por indução, vale para todo
.
Passo 4
(c) Mostrar
. Como
, temos equivalência
o que é verdade pois
. Assim
.
Passo 5
(d) Convergência e limite. A sequência é monótona decrescente e limitada inferiormente por
, logo converge a algum limite
. Fazendo
Como
, o limite não pode ser
. Portanto
.
Resposta
a)
b) A afirmação é verdadeira: por indução vê-se que para todo
.
c) Para todo tem-se
.
d) A sequência é decrescente e limitada, logo converge, e seu limite é .
b) A afirmação é verdadeira: por indução vê-se que
c) Para todo
d) A sequência é decrescente e limitada, logo converge, e seu limite é