\iint_{R}\left(\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1 \mathrm{e}-3 \leq y \leq 3\right\}.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\begin{aligned} &\text{Integrando:}\quad \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}.\\\ &\text{Região:}\quad x\in[0,1],\; y\in[-3,3].\\\ &\text{Pedido:} \quad \text{avaliar a integral dupla sobre \(R\).} \end{aligned}
Passo 2
Como R é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (ou seja, integrar em y primeiro e depois em x, ou vice-versa). Isso vale porque a função é contínua no retângulo — então podemos aplicar a troca de ordem sem problemas. Escrevemos a integral como
Aqui a variável de integração interna é y e a externa é x.
Passo 3
Observe que na integral interna em y a expressão \dfrac{x}{x^{2}+1} depende apenas de x, ou seja, é constante quando integramos em y. Então podemos fatorar essa parte para fora da integral em y: