\iint_{R}\left(\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1 \mathrm{e}-3 \leq y \leq 3\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\right)\,dA
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 1\\ \text{e}\\\ -3\le y\le 3\}.
Informações dadas e o que é pedido:
\begin{aligned} &\text{Integrando:}\quad \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}.\\\ &\text{Região:}\quad x\in[0,1],\; y\in[-3,3].\\\ &\text{Pedido:} \quad \text{avaliar a integral dupla sobre \(R\).} \end{aligned}ã

Passo 2

Como R é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (ou seja, integrar em y primeiro e depois em x, ou vice-versa). Isso vale porque a função é contínua no retângulo — então podemos aplicar a troca de ordem sem problemas. Escrevemos a integral como
\iint_{R}\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{-3}^{3}\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\right)dx.
Aqui a variável de integração interna é y e a externa é x.

Passo 3

Observe que na integral interna em y a expressão \dfrac{x}{x^{2}+1} depende apenas de x, ou seja, é constante quando integramos em y. Então podemos fatorar essa parte para fora da integral em y:
\int_{-3}^{3}\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dy = \frac{x}{x^{2}+1}\int_{-3}^{3} y^{2}\,dy.
Explico devagar: quando integramos em y, tratamos x como uma constante; por isso multiplicadores que só têm x podem sair da integral em y.

Passo 4

Calcule a integral em y:
a função y^{2} é par (ou seja, y^{2}=(-y)^{2}), e o intervalo [-3,3] é simétrico. Então
\int_{-3}^{3} y^{2}\,dy = 2\int_{0}^{3} y^{2}\,dy.
Agora calculamos a primitiva de y^{2}: é \dfrac{y^{3}}{3}. Portanto
\int_{0}^{3} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3}-0 = \frac{27}{3}=9.
Multiplicando por 2 (pelo fato da simetria) obtemos
\int_{-3}^{3} y^{2}\,dy = 2\cdot 9 = 18.

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral iterada, temos
\iint_{R}\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\cdot 18 \,dx = 18\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Para calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx usamos a substituição u=x^{2}+1. Então
u = x^{2}+1,\qquad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0 temos u=1. Quando x=1 temos u=2. Assim
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{du}{u}.
A integral \int_{1}^{2}\dfrac{du}{u} é \ln u avaliada de 1 a 2, então
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2}\ln 2,
porque \ln 1=0.

Passo 6

Voltando ao valor total:
\iint_{R}\frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA = 18\cdot \frac{1}{2}\ln 2 = 9\ln 2.
Isso é o resultado final.

Resposta

9\ln 2

Exercícios relacionados