\iint_{R}\left(x \operatorname{sec} ^{2}(y)\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq \pi / 4\right\}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do integral duplo
\iint_{R} \bigl(x\operatorname{sec}^{2}(y)\bigr)\,dA.
Dados fornecidos:
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 2\\ \text{e}\\\ 0\le y\le \pi/4\},
e a função a integrar é x\operatorname{sec}^{2}(y). Não há mais informações ocultas; o domínio R é um retângulo com as bordas dadas.

Passo 2

Primeira ideia didática: quando a região R é um retângulo e a função que vamos integrar é contínua (o que acontece aqui, pois x e \operatorname{sec}^{2}(y) são contínuas no retângulo), podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Ou seja, podemos escrever
\iint_{R} x\operatorname{sec}^{2}(y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\pi/4} x\operatorname{sec}^{2}(y)\,dy\right)dx.
Explicando isso com calma: a integral interna \int_{y=0}^{\pi/4} x\operatorname{sec}^{2}(y)\,dy trata x como constante (porque estamos integrando em y mantendo x fixo). Depois integramos o resultado em x.

Passo 3

Observação útil (fórmula de fatoração): quando a função pode ser escrita como produto de uma função de x por uma função de y, isto é, f(x,y)=g(x)\,h(y), então em um retângulo a integral dupla se separa:
\iint_{R} g(x)h(y)\,dA = \left(\int_{0}^{2} g(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi/4} h(y)\,dy\right).
No nosso caso g(x)=x e h(y)=\operatorname{sec}^{2}(y). Isso torna a conta bem mais simples — mas primeiro vamos calcular a integral em y explicitamente para ver por quê.

Passo 4

Calcule a integral em y:
\int_{y=0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(y)\,dy.
Lembrete de cálculo básico: a derivada de \tan(y) é \operatorname{sec}^{2}(y). Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(y) é \tan(y). Assim
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(y)\,dy = \tan(y)\Big|_{0}^{\pi/4} = \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan(0).
Sabendo os valores conhecidos das tangentes:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \tan(0)=0,
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\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(y)\,dy = 1.

Passo 5

Agora use esse resultado na integral iterada:
\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\pi/4} x\operatorname{sec}^{2}(y)\,dy\right)dx = \int_{0}^{2} x\cdot\left(\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{2}(y)\,dy\right)dx = \int_{0}^{2} x\cdot 1\,dx = \int_{0}^{2} x\,dx.
Explicando por que pude “tirar” a integral de y: dentro da integral em y, x é constante, então o valor da integral em y é x vezes a integral de \operatorname{sec}^{2}(y), que já vimos ser 1.

Passo 6

Calcule a integral em x:
\int_{0}^{2} x\,dx.
A primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2}. Portanto
\int_{0}^{2} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{4}{2}=2.

Resposta

2

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