\iint_{R}\left(x \operatorname{sec} ^{2}(y)\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq \pi / 4\right\}.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do integral duplo
e a função a integrar é x\operatorname{sec}^{2}(y). Não há mais informações ocultas; o domínio R é um retângulo com as bordas dadas.
Passo 2
Primeira ideia didática: quando a região R é um retângulo e a função que vamos integrar é contínua (o que acontece aqui, pois x e \operatorname{sec}^{2}(y) são contínuas no retângulo), podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Ou seja, podemos escrever
Explicando isso com calma: a integral interna \int_{y=0}^{\pi/4} x\operatorname{sec}^{2}(y)\,dy trata x como constante (porque estamos integrando em y mantendo x fixo). Depois integramos o resultado em x.
Passo 3
Observação útil (fórmula de fatoração): quando a função pode ser escrita como produto de uma função de x por uma função de y, isto é, f(x,y)=g(x)\,h(y), então em um retângulo a integral dupla se separa:
No nosso caso g(x)=x e h(y)=\operatorname{sec}^{2}(y). Isso torna a conta bem mais simples — mas primeiro vamos calcular a integral em y explicitamente para ver por quê.
Passo 4
Calcule a integral em y:
\int_{y=0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}(y)\,dy.
Lembrete de cálculo básico: a derivada de \tan(y) é \operatorname{sec}^{2}(y). Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(y) é \tan(y). Assim
Explicando por que pude “tirar” a integral de y: dentro da integral em y, x é constante, então o valor da integral em y é x vezes a integral de \operatorname{sec}^{2}(y), que já vimos ser 1.