Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
Nesse exercício, vamos resolver o problema de valor inicial de segunda ordem
, com condições iniciais
e
, usando transformadas de Laplace. O conteúdo é EDOs lineares de segunda ordem e transformadas de Laplace de derivadas. Vamos precisar das fórmulas de transformada de Laplace para derivadas:
,
e
, além da tabela de transformadas inversas para
e
.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace aos dois lados da equação
. Pela linearidade e pelas fórmulas de derivada, obtemos:
Passo 3
Substituir as condições iniciais
e
na equação transformada. Isso dá:
que simplifica para
Passo 4
Isolar
na forma algébrica:
Passo 5
Separar
em frações cuja transformada inversa conhecemos e aplicar
. Escrevendo
e usando
e
, concluímos que