Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
lomega^prime prime+omega=0 ; omega(0)=-1, omega^prime(0)=-1,

Passo 1

Nesse exercício, vamos resolver o problema de valor inicial de segunda ordem omega''+omega=0, com condições iniciais omega(0)=-1 e omega'(0)=-1, usando transformadas de Laplace. O conteúdo é EDOs lineares de segunda ordem e transformadas de Laplace de derivadas. Vamos precisar das fórmulas de transformada de Laplace para derivadas: Lomega(t)=W(s), Lomega'(t)=sW(s)-omega(0) e Lomega''(t)=s^2W(s)-somega(0)-omega'(0), além da tabela de transformadas inversas para s/(s^2+1) e 1/(s^2+1).

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace aos dois lados da equação omega''+omega=0. Pela linearidade e pelas fórmulas de derivada, obtemos:
s^2W(s)-somega(0)-omega'(0)+W(s)=0

Passo 3

Substituir as condições iniciais omega(0)=-1 e omega'(0)=-1 na equação transformada. Isso dá:
s^2W(s)-s(-1)-(-1)+W(s)=0
que simplifica para
(s^2+1)W(s)+s+1=0

Passo 4

Isolar W(s) na forma algébrica:
W(s)=-s+1s^2+1

Passo 5

Separar W(s) em frações cuja transformada inversa conhecemos e aplicar L^-1. Escrevendo
W(s)=-ss^2+1-1s^2+1
e usando L^-1s/(s^2+1)=cos t e L^-11/(s^2+1)=sin t, concluímos que
omega(t)=-cos t-sin t .

Resposta

omega(t)=-cos t - sin t

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