Esboce o gráfico da função f a partir das informações dadas.
i. O domínio de f é o conjunto D(f)=\{x \in \mathbb{R}: x \neq-2 e x \neq 2\}.
ii. f(-4)=-2, f(0)=0, f(4)=2.
iii. f é crescente para todo x \in(-\infty,-4) \cup(4, \infty); f é decrescente para todo x \in(-4,-2) \cup(-2,2) \cup(2,4).

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função f usando as informações fornecidas.
Informações dadas:
  • Domínio: D(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq -2 \text{ e } x\neq 2\}.
  • Valores pontuais: f(-4)=-2,\; f(0)=0,\; f(4)=2.
  • Monotonicidade:
    • f é crescente em (-\infty,-4) e em (4,\infty).
    • f é decrescente em (-4,-2), em (-2,2) e em (2,4).

Passo 2

Entendendo monotonicidade (aulas rápidas):
  • “Crescente” em um intervalo significa: se x_1<x_2 nesse intervalo, então f(x_1)<f(x_2). Em linguagem de prova/razão: à medida que se anda para a direita, a função sobe.
  • “Decrescente” significa o oposto: ao andar para a direita, a função desce.
  • Quando a função muda de crescente para decrescente num ponto (ou vice-versa) e esse ponto pertence ao domínio, esse ponto é um extremo local (máximo ou mínimo).
    Aplicação rápida: como f é crescente em (-\infty,-4) e decrescente em (-4,-2), em x=-4 há uma mudança crescente→decrescente, portanto x=-4 é um máximo local (o valor é f(-4)=-2). De modo análogo, em x=4 ocorre decrescente→crescente, logo x=4 é um mínimo local com f(4)=2.

Passo 3

Comportamento em (-\infty,-4) e em torno de x=-4:
  • Em (-\infty,-4) a função é crescente e atinge f(-4)=-2 no ponto x=-4. Isso significa que, vindo da esquerda, os valores de f são menores que -2 e vão subindo até -2.
    Como instrução de desenho: desenhe uma curva que, à esquerda, sobe até o ponto (-4,-2). Marque o ponto (-4,-2) fechado (pois pertence ao domínio) e indique com uma seta à esquerda que a curva continua crescente para -\infty.

Passo 4

Comportamento em (-4,-2) e o que se pode deduzir sobre x=-2:
  • Em (-4,-2) a função é decrescente. Como em -4 o valor era -2, ao andar para a direita nessa subintervalo os valores ficam menores que -2. Assim o limite lateral pela esquerda em x=-2 (se existir finito) será um valor menor que -2.
  • Como x=-2 não pertence ao domínio, no esboço deve existir uma interrupção (um “buraco” ou salto) em x=-2. O enunciado não dá o valor do limite lateral em -2, então não se pode fixar um número exato; mas podemos afirmar a desigualdade relativa: f(-2^-)\;<\;-2.
Desenho prático: faça a curva decrescer saindo de (-4,-2) para a direita até chegar a x próximo de -2, e finalize essa parte com um círculo aberto no valor que você escolher para o limite pela esquerda (algum valor menor que -2), ou com uma intervenção visual indicando que a função não está definida em -2.

Passo 5

Comportamento em (-2,2) (onde está f(0)=0):
  • Em (-2,2) a função é decrescente e sabemos que f(0)=0. Em um intervalo decrescente isso implica que, para x logo à direita de -2 (isto é, x=-2^+), o valor satisfaz f(-2^+)>f(0)=0.e para x logo à esquerda de 2 (isto é, x=2^-), o valor satisfaz f(2^-)<f(0)=0.
  • Assim, dentro de (-2,2) a curva deve passar por (0,0) e ser estritamente decrescente: à esquerda de 0 os valores são maiores que 0, à direita de 0 os valores são menores que 0.
    Desenho prático: comece a rama direita de -2 num ponto mais alto (positivo), faça a curva descer passando por (0,0) e continuar descendo até um valor negativo quando chegar perto de x=2. Em x=2 não há definição: termine essa parte com um círculo aberto no x=2 à esquerda (algum valor negativo).

Passo 6

Análise do ponto x=2 e do intervalo (2,4):
  • Em (2,4) a função é decrescente e em x=4 temos f(4)=2. Como a função decresce ao avançar em (2,4), o valor imediatamente à direita de 2 (isto é, f(2^+)) deve ser maior que f(4)=2. Assim f(2^+)>2.
  • Em contraste, vimos acima que f(2^-)<0. Portanto, obrigatoriamente há um salto (discontinuidade do tipo salto) em x=2: o limite à esquerda e à direita em 2 têm sinais e ordens diferentes.
    Desenho prático: desenhe a parte de (2,4) começando em x logo à direita de 2 com um valor acima de 2 e fazendo a curva decrescer até atingir o ponto (4,2). Marque um círculo aberto em x=2 para a rama direita (num valor >2) e outro círculo aberto em x=2 para a rama esquerda (num valor <0) — isso representa o salto.

Passo 7

Comportamento em (4,\infty) e natureza do ponto x=4:
  • Em (2,4) a função decresce até f(4)=2 e em (4,\infty) ela é crescente. Assim em x=4 a função muda de decrescente para crescente: isso caracteriza x=4 como um mínimo local. O valor no mínimo é f(4)=2.
    Desenho prático: marque o ponto (4,2) fechado e, à direita dele, desenhe a curva subindo (seta para a direita) para representar que a função cresce à medida que x cresce além de 4.

Passo 8

Instruções passo a passo para o esboço final (o que desenhar, em ordem):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque e pinte os pontos dados: (-4,-2), (0,0) e (4,2).
  3. Marque com símbolos de exclusão (por exemplo, pontos em branco/abertos) as abscissas x=-2 e x=2 para indicar que a função não está definida ali.
  4. Desenhe a rama em (-\infty,-4) subindo para chegar em (-4,-2) (seta à esquerda indicando continuação).
  5. A partir de (-4,-2) faça a curva descer em (-4,-2) até aproximar-se de x=-2; termine essa rama com um círculo aberto em x=-2 num valor menor que -2.
  6. Comece, à direita de -2, uma nova rama em (-2,2) partindo de um valor maior que 0, fazendo-a descer, cruzar (0,0) e prosseguir descendo até um valor negativo próximo de x=2; termine com um círculo aberto em x=2 para a rama esquerda.
  7. Do lado direito de x=2 comece a rama em (2,4) com um valor maior que 2, faça-a decrescer até (4,2).
  8. A partir de (4,2) desenhe a rama em (4,\infty) subindo (seta à direita indicando que cresce indefinidamente ou até onde desejar).
    Observação: os valores exatos dos limites laterais em x=\pm 2 não foram dados; no esboço indicam-se apenas as desigualdades relativas (ex.: f(-2^-)<-2<f(-2^+), f(2^-)<0<2<f(2^+)), portanto use círculos abertos e salto visual para representar as descontinuidades.

Passo 9

Resumo interpretativo e dicas finais:
  • Há um máximo local em x=-4 com valor -2.
  • Há um mínimo local em x=4 com valor 2.
  • A função passa por (0,0) e é decrescente no intervalo que contém 0.
  • Em x=-2 e x=2 há descontinuidades (saltos): os limites laterais existem em termos de ordem (maior/menor) devido à monotonicidade, mas seus valores numéricos não foram dados.
  • Para o esboço de prova: marque claramente as abscissas excluídas, pinte os pontos dados e trace curvas monotônicas nas regiões indicadas, respeitando as desigualdades dos limites laterais próximas a -2 e 2.

Resposta

  • Domínio: D(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq-2,\;x\neq2\}.
  • Pontos dados: f(-4)=-2,\; f(0)=0,\; f(4)=2.
  • Extremos: máximo local em x=-4 com f(-4)=-2; mínimo local em x=4 com f(4)=2.
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,-4) e (4,\infty); decrescente em (-4,-2), (-2,2) e (2,4).
  • Descontinuidades: em x=-2 e x=2 há saltos; em particular f(-2^-)<-2<f(-2^+) e f(2^-)<0<2<f(2^+).
  • Esboço: seguir as instruções de desenho do Passo 8, marcando pontos e círculos abertos em x=\pm2 e ligando as ramas com as monotonicidades indicadas.

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