Esboce o gráfico da função
a partir das informações dadas.
i. O domínio de
é o conjunto
e
.
ii.
.
iii.
é crescente para todo
;
é decrescente para todo
.
i. O domínio de
ii.
iii.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
usando as informações fornecidas.
Informações dadas:
- Domínio:
. - Valores pontuais:
. - Monotonicidade:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em , em e em .
-
Passo 2
Entendendo monotonicidade (aulas rápidas):
- “Crescente” em um intervalo significa: se
nesse intervalo, então . Em linguagem de prova/razão: à medida que se anda para a direita, a função sobe. - “Decrescente” significa o oposto: ao andar para a direita, a função desce.
- Quando a função muda de crescente para decrescente num ponto (ou vice-versa) e esse ponto pertence ao domínio, esse ponto é um extremo local (máximo ou mínimo).
Aplicação rápida: comoé crescente em e decrescente em , em há uma mudança crescente→decrescente, portanto é um máximo local (o valor é ). De modo análogo, em ocorre decrescente→crescente, logo é um mínimo local com .
Passo 3
Comportamento em
e em torno de
:
- Em
a função é crescente e atinge no ponto . Isso significa que, vindo da esquerda, os valores de são menores que e vão subindo até .
Como instrução de desenho: desenhe uma curva que, à esquerda, sobe até o ponto. Marque o ponto fechado (pois pertence ao domínio) e indique com uma seta à esquerda que a curva continua crescente para .
Passo 4
Comportamento em
e o que se pode deduzir sobre
:
- Em
a função é decrescente. Como em o valor era , ao andar para a direita nessa subintervalo os valores ficam menores que . Assim o limite lateral pela esquerda em (se existir finito) será um valor menor que . - Como
não pertence ao domínio, no esboço deve existir uma interrupção (um “buraco” ou salto) em . O enunciado não dá o valor do limite lateral em , então não se pode fixar um número exato; mas podemos afirmar a desigualdade relativa:
Desenho prático: faça a curva decrescer saindo de
para a direita até chegar a
próximo de
, e finalize essa parte com um círculo aberto no valor que você escolher para o limite pela esquerda (algum valor menor que
), ou com uma intervenção visual indicando que a função não está definida em
.
Passo 5
Comportamento em
(onde está
):
- Em
a função é decrescente e sabemos que . Em um intervalo decrescente isso implica que, para logo à direita de (isto é, ), o valor satisfaz e para logo à esquerda de (isto é, ), o valor satisfaz - Assim, dentro de
a curva deve passar por e ser estritamente decrescente: à esquerda de os valores são maiores que , à direita de os valores são menores que .
Desenho prático: comece a rama direita denum ponto mais alto (positivo), faça a curva descer passando por e continuar descendo até um valor negativo quando chegar perto de . Em não há definição: termine essa parte com um círculo aberto no à esquerda (algum valor negativo).
Passo 6
Análise do ponto
e do intervalo
:
- Em
a função é decrescente e em temos . Como a função decresce ao avançar em , o valor imediatamente à direita de (isto é, ) deve ser maior que . Assim - Em contraste, vimos acima que
. Portanto, obrigatoriamente há um salto (discontinuidade do tipo salto) em : o limite à esquerda e à direita em têm sinais e ordens diferentes.
Desenho prático: desenhe a parte decomeçando em logo à direita de com um valor acima de e fazendo a curva decrescer até atingir o ponto . Marque um círculo aberto em para a rama direita (num valor >2) e outro círculo aberto em para a rama esquerda (num valor <0) — isso representa o salto.
Passo 7
Comportamento em
e natureza do ponto
:
- Em
a função decresce até e em ela é crescente. Assim em a função muda de decrescente para crescente: isso caracteriza como um mínimo local. O valor no mínimo é .
Desenho prático: marque o pontofechado e, à direita dele, desenhe a curva subindo (seta para a direita) para representar que a função cresce à medida que cresce além de .
Passo 8
Instruções passo a passo para o esboço final (o que desenhar, em ordem):
- Desenhe os eixos
e . - Marque e pinte os pontos dados:
, e . - Marque com símbolos de exclusão (por exemplo, pontos em branco/abertos) as abscissas
e para indicar que a função não está definida ali. - Desenhe a rama em
subindo para chegar em (seta à esquerda indicando continuação). - A partir de
faça a curva descer em até aproximar-se de ; termine essa rama com um círculo aberto em num valor menor que . - Comece, à direita de
, uma nova rama em partindo de um valor maior que , fazendo-a descer, cruzar e prosseguir descendo até um valor negativo próximo de ; termine com um círculo aberto em para a rama esquerda. - Do lado direito de
comece a rama em com um valor maior que , faça-a decrescer até . - A partir de
desenhe a rama em subindo (seta à direita indicando que cresce indefinidamente ou até onde desejar).
Observação: os valores exatos dos limites laterais emnão foram dados; no esboço indicam-se apenas as desigualdades relativas (ex.: , ), portanto use círculos abertos e salto visual para representar as descontinuidades.
Passo 9
Resumo interpretativo e dicas finais:
- Há um máximo local em
com valor . - Há um mínimo local em
com valor . - A função passa por
e é decrescente no intervalo que contém . - Em
e há descontinuidades (saltos): os limites laterais existem em termos de ordem (maior/menor) devido à monotonicidade, mas seus valores numéricos não foram dados. - Para o esboço de prova: marque claramente as abscissas excluídas, pinte os pontos dados e trace curvas monotônicas nas regiões indicadas, respeitando as desigualdades dos limites laterais próximas a
e .
Resposta
- Domínio:
- Pontos dados:
- Extremos: máximo local em
com ; mínimo local em com . - Monotonicidade: crescente em
e ; decrescente em , e . - Descontinuidades: em
e há saltos; em particular e . - Esboço: seguir as instruções de desenho do Passo 8, marcando pontos e círculos abertos em
e ligando as ramas com as monotonicidades indicadas.