Esboce o gráfico da funçăo: ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Isso é uma superfície no espaço
. Para esboçar superfícies quadráticas como essa, precisamos identificar seções relevantes (por exemplo, curvas de nível e interseções com planos coordenados) e depois reconhecer o tipo de superfície.
Passo 2
Vamos ver as interseções com planos coordenados.
Para obtemos
Para
que é uma parábola no plano
com vértice em
, abrindo para cima.
De modo análogo, para temos
De modo análogo, para
uma parábola no plano
também com vértice em
e abrindo para cima.
Passo 3
Agora analisamos as curvas de nível, isto é, interseções com planos
. Seja
. Então
Para cada
isso é um círculo de raio
no plano
. Para
não há pontos reais. Logo, as curvas de nível são círculos concêntricos que crescem à medida que
aumenta a partir de
.
Passo 4
Da combinação das seções parabólicas e dos círculos de nível, concluímos que o gráfico é um paraboloide elíptico circular (coeficientes iguais em
e
). O vértice está em
e a superfície se abre no sentido positivo de
.
Para esboçar, basta desenhar o ponto , traçar algumas parábolas nos planos
e
e desenhar círculos nos planos
para alguns valores de
, unindo tudo suavemente.
Para esboçar, basta desenhar o ponto
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular com vértice em
que se abre para cima ao longo do eixo
.