Esboce o gráfico da funçăo: ( 2,0 pontos)
f(x, y)=1+2 x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y)=1+2x^2+2y^2
Isso é uma superfície no espaço (x,y,z). Para esboçar superfícies quadráticas como essa, precisamos identificar seções relevantes (por exemplo, curvas de nível e interseções com planos coordenados) e depois reconhecer o tipo de superfície.

Passo 2

Vamos ver as interseções com planos coordenados.
Para y=0 obtemos
z = f(x,0) = 1 + 2x^2,
que é uma parábola no plano x!z com vértice em (0,1), abrindo para cima.
De modo análogo, para x=0 temos
z = f(0,y) = 1 + 2y^2,
uma parábola no plano y!z também com vértice em (0,1) e abrindo para cima.

Passo 3

Agora analisamos as curvas de nível, isto é, interseções com planos z=c. Seja c>=1. Então
c = 1 + 2(x^2 + y^2) Longrightarrow x^2 + y^2 = c-12
Para cada c>1 isso é um círculo de raio
r = raizc-12
no plano z=c. Para c<1 não há pontos reais. Logo, as curvas de nível são círculos concêntricos que crescem à medida que z aumenta a partir de z=1.

Passo 4

Da combinação das seções parabólicas e dos círculos de nível, concluímos que o gráfico é um paraboloide elíptico circular (coeficientes iguais em x^2 e y^2). O vértice está em (0,0,1) e a superfície se abre no sentido positivo de z.
Para esboçar, basta desenhar o ponto (0,0,1), traçar algumas parábolas nos planos y=0 e x=0 e desenhar círculos nos planos z=c para alguns valores de c>1, unindo tudo suavemente.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=1+2x^2+2y^2 é um paraboloide circular com vértice em (0,0,1) que se abre para cima ao longo do eixo z.

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