Para cada curva do espaço abaixo, calcule as componentes tangencial aT e normal aN da aceleração no instante indicado. Use as definições:
aT=dd t|v(t)|, aN=raiz|a(t)|^2-aT^2
r(t)=t i+t^2 j+t^22 k, t=1

Passo 1

O enunciado dá a trajetória no espaço
r(t)=t,i+t^2,j+t^22,k
e pede as componentes tangencial aT e normal aN da aceleração no instante t=1.
O conteúdo é decompor a aceleração em parte que muda o módulo da velocidade (tangencial) e parte que muda a direção (normal), usando
aT=ddt|v(t)|, aN=raiz|a(t)|^2-aT^2

Passo 2

Calcular a velocidade e a aceleração:
v(t)=drdt =lang<= 1,;2t,;trang<=, a(t)=dvdt =lang<= 0,;2,;1rang<=

Passo 3

Encontrar a norma da velocidade e obter aT:
|v(t)| =raiz1^2+(2t)^2+t^2 =raiz1+5t^2
Derivando em relação a t:
aT(t) =ddtraiz1+5t^2 =5traiz1+5t^2
No instante t=1:
aT(1) =5cdot1raiz1+5cdot1^2 =5raiz6

Passo 4

Calcular a norma da aceleração e obter aN:
|a(t)| =raiz0^2+2^2+1^2 =raiz5,
logo em t=1
aN =raiz|a(1)|^2-aT(1)^2 =raiz5-l(5raiz6r)^2 =raiz56 =raiz306

Resposta

aT=dfrac5raiz6, aN=raizdfrac56

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