Questão 4. Seja
, ende
. Encontre x para o qual A atinja um valor mínimo relativo Esse ponto
é um extremo absoluto (ponto de mínimo global)? Justifique a sua resposta função
tem valor máximo?
(3.5 pontos)
Sugestões: (i) Calcule
e prostre que
, se
, e
, se
. (ii) Calcule o limite de
quando x tende
infinito.
(3.5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede o ponto de mínimo relativo, se ele é mínimo global e se existe máximo. Para resolver, vamos usar cálculo de derivada, análise de sinal de
e limites em
e em
.
Passo 2
Calculemos
por diferenciação logarítmica. Definindo
temos
Como
e
em
, o sinal de
é o de
Passo 3
Da expressão de
seguem-se os sinais:
- Se
, então e , logo (função decrescente). - Se
, então e , logo (função crescente).
Emtemos , ou seja, . Portanto é ponto de mínimo relativo.
Passo 4
Para ver se é mínimo global, calculemos os limites nas extremidades de
:
Como
em ambas as pontas e em
temos um valor finito menor, esse é de fato o mínimo absoluto (global).
Passo 5
Não existe ponto de máximo em
, pois
cresce sem limite quando
e também quando
, indo a
.
Resposta
O ponto de mínimo relativo é
e esse é também o mínimo absoluto da função. Não existe valor máximo de
em
.