Questão 4. Seja A(x)=x^(-2 / 3) cdot(1+x^2)^1 / 2=raiz1+x^2raiz[3]x^2, ende x in I=(0,+infty). Encontre x para o qual A atinja um valor mínimo relativo Esse ponto x é um extremo absoluto (ponto de mínimo global)? Justifique a sua resposta função A(x) tem valor máximo?
(3.5 pontos)
Sugestões: (i) Calcule A^prime(x) e prostre que A^prime(x)<0, se 0<x<2^1 / 2, e A^prime(x)>0, se x>2^1 / 2. (ii) Calcule o limite de A(x) quando x tende a+ infinito.

Passo 1

O enunciado dá a função
A(x)=x^-2/3,raiz1+x^2
no intervalo I=(0,+infty) e pede o ponto de mínimo relativo, se ele é mínimo global e se existe máximo. Para resolver, vamos usar cálculo de derivada, análise de sinal de A'(x) e limites em 0^+ e em +infty.

Passo 2

Calculemos A'(x) por diferenciação logarítmica. Definindo
f(x)=ln A(x)=tfrac12ln(1+x^2)-tfrac23ln x,
temos
f'(x)=x1+x^2-23x =3x^2-2(1+x^2)3x(1+x^2) =x^2-23x(1+x^2)
Como A'(x)=A(x),f'(x) e A(x)>0 em I, o sinal de A'(x) é o de
f'(x)=x^2-23x(1+x^2)

Passo 3

Da expressão de f'(x) seguem-se os sinais:
  • Se 0<x<raiz2, então x^2-2<0 e f'(x)<0, logo A'(x)<0 (função decrescente).
  • Se x>raiz2, então x^2-2>0 e f'(x)>0, logo A'(x)>0 (função crescente).
    Em x=raiz2 temos f'(raiz2)=0, ou seja, A'(raiz2)=0. Portanto x=raiz2 é ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Para ver se é mínimo global, calculemos os limites nas extremidades de I:
limxto0^+A(x) =limxto0^+x^-2/3raiz1+x^2 =+infty,
limxto+inftyA(x) =limxto+inftyx^-2/3,xraiz1+1/x^2 =limxto+inftyx^1/3 =+infty
Como A(x)to+infty em ambas as pontas e em x=raiz2 temos um valor finito menor, esse é de fato o mínimo absoluto (global).

Passo 5

Não existe ponto de máximo em I, pois A(x) cresce sem limite quando xto0^+ e também quando xto+infty, indo a +infty.

Resposta

O ponto de mínimo relativo é
x=raiz2,
e esse é também o mínimo absoluto da função. Não existe valor máximo de A(x) em I=(0,+infty).

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