Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Dica:
.]
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (comparação) e teste de Leibniz (série alternante). Vamos usar também a dica
.
Passo 2
Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Como
para
grande, temos
Mas a série
é uma
-série com
, logo diverge. Portanto a série de valores absolutos diverge, e a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternante
, onde
. Precisamos de duas condições:
-
é decrescente para . -
.
Para (2), claramente
porque o denominador cresce sem limite.
Para (1), observe a função
. Calculando a derivada:
portanto
é decrescente e assim
para todo
. Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.