Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty (-1)^nraizn ln n [ Dica: ln x.]

Passo 1

A série em questão é sumn=2^infty (-1)^nraizn,ln n. O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (comparação) e teste de Leibniz (série alternante). Vamos usar também a dica ln x.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=2^infty 1raizn,ln n
Como ln n< n^1/4 para n grande, temos
1raizn,ln n > 1raizn,n^1/4 = 1n^3/4
Mas a série sum 1/n^3/4 é uma p-série com p=3/4<1, logo diverge. Portanto a série de valores absolutos diverge, e a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternante sum(-1)^n bn, onde bn=1/(raizn,ln n). Precisamos de duas condições:
  1. bn é decrescente para n>=2.
  2. limntoinftybn=0.
Para (2), claramente limntoinfty1/(raiznln n)=0 porque o denominador cresce sem limite.
Para (1), observe a função f(x)=1/(raizxln x). Calculando a derivada:
f'(x) = -ln x + 22,x^3/2,(ln x)^2<0 ( x>=2 ),
portanto f é decrescente e assim bn+1 para todo n>=2. Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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