Esboce o gráfico da função quadrática f(x) = 2x^2 - 4x + 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função quadrática . Uma função quadrática tem a forma geral e seu gráfico é uma parábola. Para esboçar o gráfico, vamos precisar descobrir características importantes como o vértice da parábola, o eixo de simetria, se a parábola abre para cima ou para baixo, e os pontos onde a parábola cruza os eixos x e y.

Passo 2

Vamos começar identificando os coeficientes da função quadrática. Na função :
Esses coeficientes vão nos ajudar a determinar a forma e a posição da parábola no gráfico.

Passo 3

Em seguida, vamos determinar se a parábola abre para cima ou para baixo. Isso depende do valor de :
  • Se , a parábola abre para cima.
  • Se , a parábola abre para baixo.
No nosso caso, , que é positivo. Então, a parábola abre para cima.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais baixo ou mais alto dependendo da abertura. A coordenada x do vértice é dada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar a coordenada y do vértice, substituímos na função:
Então, o vértice é o ponto .

Passo 5

Vamos determinar o eixo de simetria, que é a linha vertical que passa pelo vértice. A equação do eixo de simetria é simplesmente :

Passo 6

Vamos encontrar o intercepto y, que é o ponto onde a parábola cruza o eixo y. Para isso, substituímos na função:
Então, o intercepto y é o ponto .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os interceptos x, que são os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Para isso, resolvemos a equação :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, os interceptos x são aproximadamente e .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da parábola:
  • A parábola abre para cima.
  • Vértice em .
  • Eixo de simetria em .
  • Intercepto y em .
  • Interceptos x em aproximadamente e .

Resposta

O gráfico da função quadrática é uma parábola que abre para cima com vértice em , eixo de simetria em , intercepto y em e interceptos x aproximadamente em e .

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