Seja F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j, onde P(x, y)=yx^2+y^2 e Q(x, y)=-xx^2+y^2.
Mostre que integralC1 F cdot d r neq integralC2 F cdot d r, onde C1 e C2 são trajetos circulares de (0,1) até (-1,0) dados por
C1: x=cos t, y=sen t(0 <= t <= pi) ; C2: x=cos t, y=-sen t(0 <= t <= pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j, onde P(x, y) = yx^2+y^2 e Q(x, y) = -xx^2+y^2. O objetivo é mostrar que a integral de linha desse campo ao longo de dois caminhos diferentes, C1 e C2, entre os pontos (0,1) e (-1,0), dá resultados diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha e analisar cada caminho separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar os efeitos do campo vetorial F ao longo de um caminho específico no plano. A fórmula geral para a integral de linha é:
integralC F cdot dr = integrala^b [ P(x(t), y(t)) dxdt + Q(x(t), y(t)) dydt ] dt
Onde C é parametrizado por x(t) e y(t) no intervalo t in [a, b].

Passo 3

Vamos começar calculando a integral para o caminho C1. Nesse caso, C1 é dado por:
x = cos t, y = sin t, 0 <= t <= pi
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = -sin t, dydt = cos t

Passo 4

Agora, substituímos x(t) e y(t) na função P e Q:
P(cos t, sin t) = sin tcos^2 t + sin^2 t = sin t1 = sin t
Q(cos t, sin t) = -cos tcos^2 t + sin^2 t = -cos t1 = -cos t

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores na integral de linha:
integralC1 F cdot dr = integral0^pi [ sin t cdot (-sin t) + (-cos t) cdot cos t ] dt
Simplificando:
integral0^pi (-sin^2 t - cos^2 t) dt = integral0^pi (-(sin^2 t + cos^2 t)) dt = integral0^pi (-1) dt = -pi

Passo 6

Agora vamos calcular a integral para o caminho C2. Esse caminho é dado por:
x = cos t, y = -sin t, 0 <= t <= pi
As derivadas são:
dxdt = -sin t, dydt = -cos t

Passo 7

Substituindo x(t) e y(t) em P e Q:
P(cos t, -sin t) = -sin tcos^2 t + sin^2 t = -sin t1 = -sin t
Q(cos t, -sin t) = -cos tcos^2 t + sin^2 t = -cos t1 = -cos t

Passo 8

Aplicando na integral de linha:
integralC2 F cdot dr = integral0^pi [ -sin t cdot (-sin t) + (-cos t) cdot (-cos t) ] dt
Simplificando:
integral0^pi (sin^2 t + cos^2 t) dt = integral0^pi (1) dt = pi

Resposta

Então, temos que:
integralC1 F cdot dr = -pi e integralC2 F cdot dr = pi
Portanto, integralC1 F cdot dr neq integralC2 F cdot dr, como queríamos demonstrar.

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