Seja
, onde
e
.
Mostre que
, onde
e
são trajetos circulares de
até
dados por
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
, onde
e
. O objetivo é mostrar que a integral de linha desse campo ao longo de dois caminhos diferentes,
e
, entre os pontos
e
, dá resultados diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha e analisar cada caminho separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar os efeitos do campo vetorial
ao longo de um caminho específico no plano. A fórmula geral para a integral de linha é:
Onde
é parametrizado por
e
no intervalo
.
Passo 3
Vamos começar calculando a integral para o caminho
. Nesse caso,
é dado por:
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função
e
:
Passo 5
Agora, aplicamos esses valores na integral de linha:
Simplificando:
Passo 6
Agora vamos calcular a integral para o caminho
. Esse caminho é dado por:
As derivadas são:
Passo 7
Substituindo
e
em
e
:
Passo 8
Aplicando na integral de linha:
Simplificando:
Resposta
Então, temos que:
Portanto,
, como queríamos demonstrar.