Encontre a função não nula h para a qual
F(x, y) = h(x) [x sen(y) + y cos(y)] i + h(x) [x cos(y) - y sen(y)] j
seja conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função que não seja nula para que o campo vetorial
seja conservativo. Isso está no campo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, o que significa que sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Para verificar isso, a gente vai usar a condição que envolve as derivadas parciais dos componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial ser conservativo, ele precisa satisfazer a condição:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Primeiro, calculando :
Agora, calculando :
Para o campo ser conservativo, essas duas expressões devem ser iguais.

Passo 4

Igualando as duas derivadas parciais:
Vamos simplificar a equação cancelando termos semelhantes:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Podemos fatorar e na equação:
Assumindo que , podemos dividir ambos os lados por esse termo:
Isso nos dá uma equação diferencial simples para .

Passo 6

A equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem cuja solução geral é:
onde é uma constante qualquer. Como queremos uma função não nula, basta escolher .

Resposta

A função que torna o campo vetorial conservativo é:
onde é uma constante não nula.

Exercícios relacionados