Encontre a função não nula
para a qual
seja conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função
que não seja nula para que o campo vetorial
seja conservativo. Isso está no campo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, o que significa que sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Para verificar isso, a gente vai usar a condição que envolve as derivadas parciais dos componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial
ser conservativo, ele precisa satisfazer a condição:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Para o campo ser conservativo, essas duas expressões devem ser iguais.
Passo 4
Igualando as duas derivadas parciais:
Vamos simplificar a equação cancelando termos semelhantes:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Podemos fatorar
e
na equação:
Assumindo que
, podemos dividir ambos os lados por esse termo:
Isso nos dá uma equação diferencial simples para
.
Passo 6
A equação diferencial
é uma equação linear de primeira ordem cuja solução geral é:
onde
é uma constante qualquer. Como queremos uma função não nula, basta escolher
.
Resposta
A função
que torna o campo vetorial conservativo é:
onde
é uma constante não nula.