Esboce o gráfico das funções seguintes (Obs: determine o dominio, as raizes, intersecção com o eixo y, …): (Valor: 1,5 pontos)
y=-2 x^{2}+5 x+7

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática
y = -2x^{2} + 5x + 7
Devemos determinar: domínio, concavidade, raízes (zeros), interseção com o eixo y, vértice e eixo de simetria. A matéria aqui é estudo de parábolas definidas por funções do 2º grau.

Passo 2

Domínio e concavidade
\bullet O domínio de qualquer polinômio é \mathbb{R}.
\bullet Como o coeficiente de x^{2} é a = -2 < 0, a parábola é côncava para baixo (tem um máximo).

Passo 3

Cálculo das raízes
Para achar as raízes resolvemos
-2x^{2} + 5x + 7 = 0.
Multiplicando por -1 e aplicando a fórmula de Bhaskara temos
2x^{2} - 5x - 7 = 0,\quad x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2} - 4\cdot2\cdot(-7)}}{2\cdot2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 +56}}{4} = \frac{5 \pm 9}{4}.
Logo as raízes são
x_{1} = \frac{5+9}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5, \quad x_{2} = \frac{5-9}{4} = -1.

Passo 4

Interseção com o eixo y
Basta pôr x=0:
y(0) = -2\cdot0^{2} + 5\cdot0 + 7 = 7.
Então o ponto de interseção é (0,\,7).

Passo 5

Vértice e eixo de simetria
A abscissa do vértice vem de
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2\cdot(-2)} = \frac{5}{4} = 1{,}25.
Substituindo em y:
y_{v} = -2\,(1{,}25)^{2} + 5\,(1{,}25) + 7 = -2\cdot1{,}5625 + 6{,}25 + 7 = -3{,}125 + 13{,}25 = 10{,}125 = \frac{81}{8}.
Então o vértice é \bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{81}{8}\bigr).
O eixo de simetria é a reta x = \tfrac{5}{4}.

Passo 6

Esboço do gráfico
1. Trace eixos coordenados.
2. Marque as raízes (-1,0) e (3{,}5,0).
3. Marque o ponto (0,7) no eixo y.
4. Marque o vértice \bigl(1{,}25,\,10{,}125\bigr).
5. Desenhe uma curva em “U invertido” (côncava para baixo) passando por esses pontos e simétrica em relação a x=1{,}25.

Resposta

Gráfico de uma parábola côncava para baixo, domínio \mathbb{R}, raízes em (-1,0) e (3{,}5,0), interseção com y em (0,7), vértice em \bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{81}{8}\bigr).

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