Esboce o gráfico da função real de uma variável
dada por:
f(x)=\left{
\right.
f(x)=\left{
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função real de uma variável
definida por partes. As informações fornecidas são exatamente estas:
- Para
e vale
- Para
vale
O que se pede é desenhar (esboçar) o gráfico de
no eixo
usando essas definições.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão racional que aparece na primeira parte. Primeiro fatoramos o numerador:
O denominador pode ser escrito como
Substituindo na fração temos, para
,
Portanto, sempre que a fração estiver definida (isto é, para
e
) a função vale
Observação importante: a simplificação cancelou um fator
, por isso havia a restrição
— no ponto
a fórmula original não está definida, embora a expressão simplificada valha
em
. Mas a definição por partes especifica
, então precisamos tratar
separadamente.
Passo 3
Agora vamos entender como é o gráfico da parte contínua:
- Para
com , a função é a reta
que tem coeficiente angular
(inclinação descendente) e intercepto
-em
. Essa reta é desenhada apenas no intervalo
, e com um furo em
(porque
está excluído nessa parte).
Como desenhar a reta no intervalo:
- Quando
a reta dá . Então a reta se aproxima do ponto por dentro do intervalo, mas não inclui (é um círculo aberto ali). - Quando
ou a reta dá . Ou seja, a reta atravessa a abscissa no valor , mas em temos um furo (círculo aberto) em . - Quando
a reta dá . Então a reta se aproxima de por dentro do intervalo, sem incluir esse ponto (círculo aberto).
Passo 4
Agora analisamos os pontos isolados que a definição dá explicitamente:
- Para
está definido . Então o ponto pertence ao gráfico (ponto preenchido). - Para
está definido . Então o ponto pertence ao gráfico (ponto preenchido), embora a reta tenha um furo em . - Para
está definido . Então o ponto pertence ao gráfico (ponto preenchido).
Resumo visual dos pontos importantes (todos em coordenadas):
- Reta
para . - Ponto aberto (furo) em
na extremidade esquerda da reta. - Ponto aberto em
no furo da reta em . - Ponto aberto em
na extremidade direita da reta. - Ponto preenchido em
. - Ponto preenchido em
. - Ponto preenchido em
.
Passo 5
Interpretação topológica / continuidade (ajuda para esboçar corretamente):
- No intervalo
com a função é contínua porque é uma reta; portanto o gráfico é um segmento de reta (aberto nas extremidades do intervalo) com um pequeno furo em . - Em
a função tem um ponto removível se tivéssemos definido , mas o enunciado define . Assim, é ponto de descontinuidade: o limite existe (vinda da reta), mas . - Em
e a reta aproxima valores ( e , respectivamente) mas a função nesses pontos assume valores diferentes ( e , respectivamente). Portanto em cada extremidade há um ponto isolado preenchido e um ponto da reta com círculo aberto.
Passo 6
Instruções concretas para esboçar:
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta
apenas para . - Marque um círculo aberto em
, outro em e outro em (esses três não pertencem ao gráfico). - Marque pontos preenchidos em
, e (esses pertencem ao gráfico). - Lembre-se: não existem pontos do gráfico para
nem para .
Resposta
O gráfico é a reta
para
com um furo (círculo aberto) em
e com círculos abertos em
e
; além disso estão incluídos os pontos preenchidos
,
e
.