Esboce o gráfico da função real de uma variável f dada por:
f(x)=\left{ \begin{aligned} \frac{x^{2}-1}{1-x}, & \text { se }-2<x<2 \text { e } x \neq 1 \\ x, & \text { se } x=-2,1 \text { e } 2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função real de uma variável f definida por partes. As informações fornecidas são exatamente estas:
  • Para -2<x<2 e x\neq1 vale
f(x)=\frac{x^{2}-1}{1-x}.
  • Para x=-2,\,1,\,2 vale
f(x)=x.
O que se pede é desenhar (esboçar) o gráfico de f no eixo xy usando essas definições.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão racional que aparece na primeira parte. Primeiro fatoramos o numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
O denominador pode ser escrito como
1-x=-(x-1).
Substituindo na fração temos, para x\neq1,
\frac{x^{2}-1}{1-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}=-(x+1).
Portanto, sempre que a fração estiver definida (isto é, para -2<x<2 e x\neq1) a função vale
f(x)=-x-1.
Observação importante: a simplificação cancelou um fator (x-1), por isso havia a restrição x\neq1 — no ponto x=1 a fórmula original não está definida, embora a expressão simplificada valha -2 em x=1. Mas a definição por partes especifica f(1)=1, então precisamos tratar x=1 separadamente.

Passo 3

Agora vamos entender como é o gráfico da parte contínua:
  • Para -2<x<2 com x\neq1, a função é a reta
y=-x-1,
que tem coeficiente angular -1 (inclinação descendente) e intercepto y-em -1. Essa reta é desenhada apenas no intervalo (-2,2), e com um furo em x=1 (porque x=1 está excluído nessa parte).
Como desenhar a reta no intervalo:
  • Quando x\to-2^{+} a reta dá y=-(-2)-1=1. Então a reta se aproxima do ponto (-2,1) por dentro do intervalo, mas não inclui (-2,1) (é um círculo aberto ali).
  • Quando x\to1^{-} ou x\to1^{+} a reta dá y=-1-1=-2. Ou seja, a reta atravessa a abscissa x=1 no valor y=-2, mas em x=1 temos um furo (círculo aberto) em (1,-2).
  • Quando x\to2^{-} a reta dá y=-2-1=-3. Então a reta se aproxima de (2,-3) por dentro do intervalo, sem incluir esse ponto (círculo aberto).

Passo 4

Agora analisamos os pontos isolados que a definição dá explicitamente:
  • Para x=-2 está definido f(-2)=-2. Então o ponto (-2,-2) pertence ao gráfico (ponto preenchido).
  • Para x=1 está definido f(1)=1. Então o ponto (1,1) pertence ao gráfico (ponto preenchido), embora a reta tenha um furo em (1,-2).
  • Para x=2 está definido f(2)=2. Então o ponto (2,2) pertence ao gráfico (ponto preenchido).
Resumo visual dos pontos importantes (todos em coordenadas):
  • Reta y=-x-1 para -2<x<2,\;x\neq1.
  • Ponto aberto (furo) em (-2,1) na extremidade esquerda da reta.
  • Ponto aberto em (1,-2) no furo da reta em x=1.
  • Ponto aberto em (2,-3) na extremidade direita da reta.
  • Ponto preenchido em (-2,-2).
  • Ponto preenchido em (1,1).
  • Ponto preenchido em (2,2).

Passo 5

Interpretação topológica / continuidade (ajuda para esboçar corretamente):
  • No intervalo -2<x<2 com x\neq1 a função é contínua porque é uma reta; portanto o gráfico é um segmento de reta (aberto nas extremidades do intervalo) com um pequeno furo em x=1.
  • Em x=1 a função tem um ponto removível se tivéssemos definido f(1)=-2, mas o enunciado define f(1)=1. Assim, x=1 é ponto de descontinuidade: o limite \lim_{x\to1}f(x)=-2 existe (vinda da reta), mas f(1)=1\neq-2.
  • Em x=-2 e x=2 a reta aproxima valores ( 1 e -3, respectivamente) mas a função nesses pontos assume valores diferentes ( -2 e 2, respectivamente). Portanto em cada extremidade há um ponto isolado preenchido e um ponto da reta com círculo aberto.

Passo 6

Instruções concretas para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a reta y=-x-1 apenas para -2<x<2.
  3. Marque um círculo aberto em (-2,1), outro em (1,-2) e outro em (2,-3) (esses três não pertencem ao gráfico).
  4. Marque pontos preenchidos em (-2,-2), (1,1) e (2,2) (esses pertencem ao gráfico).
  5. Lembre-se: não existem pontos do gráfico para x<-2 nem para x>2.

Resposta

O gráfico é a reta y=-x-1 para -2<x<2 com um furo (círculo aberto) em (1,-2) e com círculos abertos em (-2,1) e (2,-3); além disso estão incluídos os pontos preenchidos (-2,-2), (1,1) e (2,2).

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