Esboce o gráfico da função real de uma variável f dada por:
f(x)=\left|1-x^{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função real de uma variável
f(x)=\left|1-x^{2}\right|.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=\left|1-x^{2}\right|.
  • Preciso desenhar (esboçar) o gráfico dessa função no plano (x,y).
  • Pontos e propriedades que serão úteis: onde a expressão dentro do valor absoluto zera, como a função se comporta em intervalos, simetrias e comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 2

Lembrete rápido sobre valor absoluto e como usá-lo para escrever a função em partes:
  • Para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aqui a=1-x^{2}\]. Então primeiro encontro onde \(1-x^{2} é não negativo ou negativo:
1-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\le x\le 1.
Portanto a função pode ser escrita em forma peça a peça:
f(x)= \begin{cases} 1-x^{2}, & \text{se } -1\le x\le 1,\\[4pt] x^{2}-1, & \text{se } x<-1\\ \text{ou}\\ x>1. \end{cases}]

Passo 3

Interpretação geométrica de cada ramo (explicando como desenhar na prova):
  • Para -1\le x\le 1 temos f(x)=1-x^{2}. Isso é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^{2} é -1), vértice em x=0 com valor máximo
f(0)=1-0^{2}=1.
Essa parábola cruza o eixo x em x=\pm 1 porque 1-x^{2}=0 quando x=\pm 1.
  • Para x\le -1 e x\ge 1 temos f(x)=x^{2}-1. Isso é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x^{2} é +1), cujo valor em x=\pm 1 é
f(\pm 1)=(\pm 1)^{2}-1=0,
e cresce quadráticamente conforme |x| aumenta. Por exemplo,
f(2)=2^{2}-1=3,\qquad f(-2)=(-2)^{2}-1=3.

Passo 4

Propriedades importantes a usar ao esboçar:
  • Continuidade: Como os dois ramos coincidem em x=\pm 1 (ambos dão valor 0), a função é contínua em todos os reais.
  • Diferenciabilidade em x=\pm 1: calcular derivadas laterais para ver se há “canto”.
    • Para -1<x<1, f(x)=1-x^{2} e f'(x)=-2x.
    • Para |x|>1, f(x)=x^{2}-1 e f'(x)=2x.
    • Em x=1: derivada pela esquerda é \lim_{x\to1^-}-2x=-2 e pela direita é \lim_{x\to1^+}2x=2. Como -2\neq 2, f não é diferenciável em x=1 (há um canto). O mesmo ocorre em x=-1.
  • Simetria: f(-x)=|1-(-x)^{2}|=|1-x^{2}|=f(x). Logo a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Comportamento para grandes |x|: f(x)\sim x^{2} quando |x|\to\infty, ou seja, o gráfico cresce como uma parábola para cima nas duas pontas.

Passo 5

Pontos-chave para marcar no esboço e como ligar:
  • Marcar (-1,0), (0,1) e (1,0).
  • Para x entre -1 e 1, desenhar a concavidade para baixo da parábola y=1-x^{2}, passando por esses pontos e com pico em (0,1).
  • Para x\le -1 e x\ge 1, desenhar as ramificações da parábola y=x^{2}-1, começando em (-1,0) e (1,0) e subindo quadráticamente para as duas extremidades; por exemplo passar por (2,3) e (-2,3).
  • Certificar-se de que o gráfico é contínuo em \pm 1 (os ramos se encontram em (\pm 1,0)) mas com um canto (não suave) em cada um desses pontos.
  • Como verificação rápida, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 6

Resumo descritivo final (como ficará o esboço):
  • No intervalo central [-1,1]: arco de uma parábola virada para baixo com vértice em (0,1) e zeros em (\pm 1,0).
  • Fora desse intervalo: duas ramificações de parábola viradas para cima que se unem aos pontos (\pm 1,0) e crescem rapidamente para cima conforme |x| aumenta.
  • O gráfico é contínuo, par (simétrico) e não diferenciável em x=\pm 1.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 1-x^{2}, & \text{se } -1\le x\le 1,\\[4pt] x^{2}-1, & \text{se } x<-1\\ \text{ou}\\ x>1. \end{cases}]

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