Esboce o gráfico da função real de uma variável f dada por: f(x)=\left|1-x^{2}\right|
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função real de uma variável
f(x)=\left|1-x^{2}\right|.
Informações dadas e o que é pedido:
A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=\left|1-x^{2}\right|.
Preciso desenhar (esboçar) o gráfico dessa função no plano (x,y).
Pontos e propriedades que serão úteis: onde a expressão dentro do valor absoluto zera, como a função se comporta em intervalos, simetrias e comportamento para x\to\pm\infty.
Passo 2
Lembrete rápido sobre valor absoluto e como usá-lo para escrever a função em partes:
Para qualquer número real a\),
\[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aqui a=1-x^{2}\]. Então primeiro encontro onde \(1-x^{2} é não negativo ou negativo:
Interpretação geométrica de cada ramo (explicando como desenhar na prova):
Para -1\le x\le 1 temos f(x)=1-x^{2}. Isso é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^{2} é -1), vértice em x=0 com valor máximo
f(0)=1-0^{2}=1.
Essa parábola cruza o eixo x em x=\pm 1 porque 1-x^{2}=0 quando x=\pm 1.
Para x\le -1 e x\ge 1 temos f(x)=x^{2}-1. Isso é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x^{2} é +1), cujo valor em x=\pm 1 é
f(\pm 1)=(\pm 1)^{2}-1=0,
e cresce quadráticamente conforme |x| aumenta. Por exemplo,
f(2)=2^{2}-1=3,\qquad f(-2)=(-2)^{2}-1=3.
Passo 4
Propriedades importantes a usar ao esboçar:
Continuidade: Como os dois ramos coincidem em x=\pm 1 (ambos dão valor 0), a função é contínua em todos os reais.
Diferenciabilidade em x=\pm 1: calcular derivadas laterais para ver se há “canto”.
Para -1<x<1, f(x)=1-x^{2} e f'(x)=-2x.
Para |x|>1, f(x)=x^{2}-1 e f'(x)=2x.
Em x=1: derivada pela esquerda é \lim_{x\to1^-}-2x=-2 e pela direita é \lim_{x\to1^+}2x=2. Como -2\neq 2, f não é diferenciável em x=1 (há um canto). O mesmo ocorre em x=-1.
Simetria: f(-x)=|1-(-x)^{2}|=|1-x^{2}|=f(x). Logo a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Comportamento para grandes |x|: f(x)\sim x^{2} quando |x|\to\infty, ou seja, o gráfico cresce como uma parábola para cima nas duas pontas.
Passo 5
Pontos-chave para marcar no esboço e como ligar:
Marcar (-1,0), (0,1) e (1,0).
Para x entre -1 e 1, desenhar a concavidade para baixo da parábola y=1-x^{2}, passando por esses pontos e com pico em (0,1).
Para x\le -1 e x\ge 1, desenhar as ramificações da parábola y=x^{2}-1, começando em (-1,0) e (1,0) e subindo quadráticamente para as duas extremidades; por exemplo passar por (2,3) e (-2,3).
Certificar-se de que o gráfico é contínuo em \pm 1 (os ramos se encontram em (\pm 1,0)) mas com um canto (não suave) em cada um desses pontos.
Como verificação rápida, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 6
Resumo descritivo final (como ficará o esboço):
No intervalo central [-1,1]: arco de uma parábola virada para baixo com vértice em (0,1) e zeros em (\pm 1,0).
Fora desse intervalo: duas ramificações de parábola viradas para cima que se unem aos pontos (\pm 1,0) e crescem rapidamente para cima conforme |x| aumenta.
O gráfico é contínuo, par (simétrico) e não diferenciável em x=\pm 1.