Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Assintota vertical
,
Assintota vertical
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função
que satisfaça estas condições:
– Há assíntota vertical em .
– Monotonicidade:
para
,
para
e também para
.
– Concavidade:
para
(concavidade para baixo) e
para
(concavidade para cima).
– Há assíntota vertical em
– Monotonicidade:
– Concavidade:
Conteúdos usados: estudo de monotonicidade (sinal de
), estudo de concavidade (sinal de
), identificação de extremo em
e comportamento junto à assíntota em
.
Passo 2
Analisamos os sinais de
para determinar onde
cresce ou decresce:
– Em ,
é crescente.
– Em ,
é decrescente.
– Em ,
também é decrescente.
– Em
– Em
– Em
Passo 3
Como
muda de positivo para negativo em
, concluímos que há um máximo local em
.
Passo 4
O sinal de
dá a concavidade:
– Para ,
gráfico côncavo para baixo.
– Para ,
gráfico côncavo para cima.
– Para
– Para
Passo 5
Na assíntota vertical
o comportamento deve ser compatível com a monotonicidade:
– Em ,
é decrescente, logo ao se aproximar de
pela esquerda deve ir a
.
– Em ,
é decrescente e côncava para cima, então ao se aproximar de
pela direita deve vir de
.
– Em
– Em
Passo 6
Para completar o esboço, podemos ainda escolher comportamentos simples no infinito: por exemplo,
e
,
mantendo o gráfico abaixo de à esquerda de
e acima de
à direita de
.
mantendo o gráfico abaixo de
Passo 7
Unindo tudo, o esboço é:
– Ramo esquerdo ( ): cresce e é côncavo para baixo até
(máximo), depois decresce côncavo para baixo até
quando
.
– Ramo direito ( ): de
em
, decresce e é côncavo para cima, aproximando-se de
conforme
.
– Ramo esquerdo (
– Ramo direito (
Resposta
Esboço do gráfico conforme os passos acima. (Ver descrição do esboço no Passo
.)