Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Assintota vertical x=0, f^prime(x)>0 se x<-2,
l f^prime(x)<0 se x>-2(x neq 0) f^prime prime(x)<0 se x<0, f^prime prime(x)>0 se x>0

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f que satisfaça estas condições:
– Há assíntota vertical em x=0.
– Monotonicidade:
,f'(x)>0 para x<-2,
,f'(x)<0 para -2<x<0 e também para x>0.
– Concavidade:
,f''(x)<0 para x<0 (concavidade para baixo) e
,f''(x)>0 para x>0 (concavidade para cima).
Conteúdos usados: estudo de monotonicidade (sinal de f'), estudo de concavidade (sinal de f''), identificação de extremo em x=-2 e comportamento junto à assíntota em x=0.

Passo 2

Analisamos os sinais de f' para determinar onde f cresce ou decresce:
– Em (-infty,-2), f'(x)>0 to f é crescente.
– Em (-2,0), f'(x)<0 to f é decrescente.
– Em (0,infty), f'(x)<0 to f também é decrescente.

Passo 3

Como f' muda de positivo para negativo em x=-2, concluímos que há um máximo local em x=-2.

Passo 4

O sinal de f'' dá a concavidade:
– Para x<0, f''(x)<0 to gráfico côncavo para baixo.
– Para x>0, f''(x)>0 to gráfico côncavo para cima.

Passo 5

Na assíntota vertical x=0 o comportamento deve ser compatível com a monotonicidade:
– Em (-2,0), f é decrescente, logo ao se aproximar de 0 pela esquerda deve ir a -infty.
– Em (0,infty), f é decrescente e côncava para cima, então ao se aproximar de 0 pela direita deve vir de +infty.

Passo 6

Para completar o esboço, podemos ainda escolher comportamentos simples no infinito: por exemplo,
limxto-inftyf(x)=0^- e limxto+inftyf(x)=0^+,
mantendo o gráfico abaixo de y=0 à esquerda de -2 e acima de y=0 à direita de 0.

Passo 7

Unindo tudo, o esboço é:
– Ramo esquerdo ( x<0): cresce e é côncavo para baixo até x=-2 (máximo), depois decresce côncavo para baixo até f(x)to-infty quando xto0^-.
– Ramo direito ( x>0): de +infty em 0^+, decresce e é côncavo para cima, aproximando-se de y=0 conforme xto+infty.

Resposta

Esboço do gráfico conforme os passos acima. (Ver descrição do esboço no Passo 7.)

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