(1 ponto) Considere
f(x)= C+arctg(x), & x <= 0 sen(x)x, & x>0
onde C in R é uma constante.
(a) A função f é contínua para algum valor de C ? Se sim, qual?
(b) O gráfico de f(x) possui assíntota(s) horizontal(is)? Se sim, forneça a(s) equação(ões) da(s) mesma(s).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= C+arctan(x),&x<=0, dfracsin(x)x,&x>0,
com CinR.
Queremos (a) achar C para que f seja contínua em x=0 e (b) estudar se há assíntotas horizontais, ou seja, os limites de f(x) quando xtopminfty.

Passo 2

Para testar continuidade em x=0 precisamos que
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0)
Como f(0)=C+arctan(0)=C e
limxto0^+sin(x)x=1,
impondo igualdade de limites obtemos
C=1

Passo 3

Agora vamos achar as assíntotas horizontais. Primeiro xto-infty. Para x<=0 vale f(x)=C+arctan(x) e sabe-se que
limxto-inftyarctan(x)=-pi2
Logo
limxto-inftyf(x)=C - pi2,
o que dá a assíntota
y = C - tfracpi2

Passo 4

Para xto+infty usamos o ramo f(x)=sin(x)x. Como sin(x) é limitado e xtoinfty, temos
limxto+inftysin(x)x=0,
que fornece a assíntota
y = 0

Resposta

(a) Sim, para C=1.
(b) Há duas assíntotas horizontais:
y = C - pi2 e y = 0
Em particular, na escolha que garante continuidade ( C=1), elas ficam
y = 1 - pi2 e y = 0

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