Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e quais ferramentas vamos usar.
– Estamos construindo um esboço do gráfico de uma função sabendo apenas informações sobre
e
.
– Condições sobre :
.
e
.
.
se
.
.
se
.
.
se
.
– Condições sobre :
.
em
(concavidade para baixo).
. ponto de inflexão em
e concavidade muda de sinal em
.
Para esboçar, vamos usar: análise de monotonicidade (sinal de ), análise de pontos críticos e classe de concavidade (sinal de
), e comportamento “assintótico” dado por
para
.
– Estamos construindo um esboço do gráfico de uma função
– Condições sobre
– Condições sobre
Para esboçar, vamos usar: análise de monotonicidade (sinal de
Passo 2
Determinar monotonicidade e extremos em
e
.
– Em temos
, logo
:
é crescente ali. Ao chegar em
,
muda de positivo para negativo (pois em
temos
), então em
há um máximo local.
– Em temos
:
decresce até
. Em
,
e logo depois, para
,
, de forma que
é um mínimo local.
– Em
– Em
Passo 3
Analisar concavidade e ponto de inflexão.
– Para , temos
: concavidade para baixo.
– Em ocorre mudança de concavidade (ponto de inflexão) e sabemos
.
– Para , como há inversão em
, adotamos
: concavidade para cima.
– Para
– Em
– Para
Passo 4
Comportamento para
.
Como nessas regiões, o gráfico de
é uma reta de inclinação
. Ou seja, para
e para
temos porções do gráfico que são segmentos de reta paralelos, com declive
.
Como
Passo 5
Construir um exemplo explícito para esboçar. Uma escolha simples é usar uma cúbica centrada em
Verificações rápidas:
, , que zera em
, é negativa em
e positiva em
.
,
Passo 6
Esboço final.
– Para , o gráfico é uma reta de declive
.
– Em começa a parte cúbica, que cresce (concavidade para baixo) até
, formando um máximo local.
– De a
, decresce ainda com concavidade para baixo até atingir o ponto de inflexão em
.
– De a
, continua decrescendo, agora com concavidade para cima, até o mínimo local em
.
– De a
, cresce com concavidade para cima até ligar à reta de declive
em
.
– Para , retorna ao segmento de reta de declive
.
– Para
– Em
– De
– De
– De
– Para
Resposta
Um exemplo de gráfico que satisfaz tudo isso é o da função
cujo esboço apresenta:
- reta de declive
para-1 ,|x|>2 - máximo local em
,( -1,,f(-1)) - decrescimento e concavidade para baixo em
,-1<x<0 - inflexão em
,(0,1) - decrescimento e concavidade para cima em
,0<x<1 - mínimo local em
,(1,f(1)) - depois crescimento até
e ligação à reta de declivex=2 .]-1