Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
& f^prime(1)=f^prime(-1)=0, f^prime(x)<0 se |x|<1 & f^prime(x)>0 se 1<|x|<2, f^prime(x)=-1 se |x|>2 & f^prime prime(x)<0 se -2<x<0, ponto de inf<=xão (0,1) ã

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e quais ferramentas vamos usar.
– Estamos construindo um esboço do gráfico de uma função f sabendo apenas informações sobre f' e f''.
– Condições sobre f':
1. ;f'(-1)=0 e ;f'(1)=0.
2. ;f'(x)<0 se |x|<1.
3. ;f'(x)>0 se 1<|x|<2.
4. ;f'(x)=-1 se |x|>2.
– Condições sobre f'':
1. ;f''(x)<0 em -2<x<0 (concavidade para baixo).
2. ponto de inflexão em (0,1)Rightarrow f(0)=1 e concavidade muda de sinal em x=0.
Para esboçar, vamos usar: análise de monotonicidade (sinal de f'), análise de pontos críticos e classe de concavidade (sinal de f''), e comportamento “assintótico” dado por f'(x)=-1 para |x|>2.

Passo 2

Determinar monotonicidade e extremos em x=-1 e x=1.
– Em -2<x<-1 temos 1<|x|<2, logo f'(x)>0: f é crescente ali. Ao chegar em x=-1, f' muda de positivo para negativo (pois em -1<x<1 temos f'(x)<0), então em x=-1 há um máximo local.
– Em -1<x<1 temos f'(x)<0: f decresce até x=1. Em x=1, f'(1)=0 e logo depois, para 1<x<2, f'(x)>0, de forma que x=1 é um mínimo local.

Passo 3

Analisar concavidade e ponto de inflexão.
– Para -2<x<0, temos f''(x)<0: concavidade para baixo.
– Em x=0 ocorre mudança de concavidade (ponto de inflexão) e sabemos f(0)=1.
– Para 0<x<2, como há inversão em x=0, adotamos f''(x)>0: concavidade para cima.

Passo 4

Comportamento para |x|>2.
Como f'(x)=-1 nessas regiões, o gráfico de f é uma reta de inclinação -1. Ou seja, para x>2 e para x<-2 temos porções do gráfico que são segmentos de reta paralelos, com declive -1.

Passo 5

Construir um exemplo explícito para esboçar. Uma escolha simples é usar uma cúbica centrada em
Verificações rápidas:
, , que zera em , é negativa em e positiva em .
. Em , .
. muda de sinal em , é negativa em e positiva em .
. , ponto de inflexão em .]

Passo 6

Esboço final.
– Para xto-infty, o gráfico é uma reta de declive -1.
– Em x=-2 começa a parte cúbica, que cresce (concavidade para baixo) até x=-1, formando um máximo local.
– De -1 a 0, decresce ainda com concavidade para baixo até atingir o ponto de inflexão em (0,1).
– De 0 a 1, continua decrescendo, agora com concavidade para cima, até o mínimo local em x=1.
– De 1 a 2, cresce com concavidade para cima até ligar à reta de declive -1 em x=2.
– Para x>2, retorna ao segmento de reta de declive -1.

Resposta

Um exemplo de gráfico que satisfaz tudo isso é o da função
f(x)= -x - tfrac53, & x <= -2,[6pt] tfrac13x^3 - x + 1, & -2 <= x <= 2,[6pt] -x + tfrac113, & x >= 2,
cujo esboço apresenta:
  • reta de declive -1 para |x|>2,
  • máximo local em ( -1,,f(-1)),
  • decrescimento e concavidade para baixo em -1<x<0,
  • inflexão em (0,1),
  • decrescimento e concavidade para cima em 0<x<1,
  • mínimo local em (1,f(1)),
  • depois crescimento até x=2 e ligação à reta de declive -1.]

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