Se f(x)=(x^2-1) /(x^2+1), encontre f^prime((x) e f^prime prime(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-1x^2+1
e pede f'(x) e f''(x).
Conteúdo usado: regra do quociente e, em seguida, regra do produto e cadeia para a segunda derivada.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2-1, v(x)=x^2+1
Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Como u'(x)=2x e v'(x)=2x, obtemos
f'(x) =2x,(x^2+1)- (x^2-1),2x(x^2+1)^2

Passo 3

No numerador fatoramos 2x:
2xl[(x^2+1)-(x^2-1)r] =2xcdot2 =4x
Logo
f'(x)=4x(x^2+1)^2

Passo 4

Para f''(x), reescrevemos
f'(x)=4x,(x^2+1)^-2
e aplicamos regra do produto e cadeia. Chamando g(x)=4x e h(x)=(x^2+1)^-2, temos
g'(x)=4, h'(x)=-2,(x^2+1)^-3cdot2x=-4x,(x^2+1)^-3
Logo
f''(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x) =4,(x^2+1)^-2+4xl(-4x,(x^2+1)^-3r)

Passo 5

Colocando sobre o mesmo denominador (x^2+1)^3:
f''(x) =4(x^2+1)-16x^2(x^2+1)^3 =4-12x^2(x^2+1)^3 =4,(1-3x^2)(x^2+1)^3

Resposta

f'(x)=4x(x^2+1)^2,
f''(x)=4,(1-3x^2)(x^2+1)^3

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