Esboce o gráfico de uma função que seja descontínua em
, porém contínua à direita nesse ponto, descontínua em
e
, porém contínua à direita em
e contínua à esquerda em
. Além disso, a função deve ser contínua em todos os outros pontos de
e deve ter apenas a reta
como assíntota horizontal.
Passo 1
O que o enunciado pede (lista clara):
- Construir (esboçar) uma função
que tenha as seguintes propriedades: - é descontínua em
, porém contínua à direita em ; - é descontínua em
, porém contínua à direita em ; - é descontínua em
, porém contínua à esquerda em ; - é contínua em todos os outros pontos de
; - tem apenas a reta
como assíntota horizontal (isto é, os limites em devem dar ).
- é descontínua em
- As letras
são constantes reais dadas; não foi pedido um único tipo de gráfico, apenas um exemplo que satisfaça todas as condições.
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos ainda): montar
como soma de duas partes:
- uma parte de base contínua
que já tende para quando (assim garantimos a assíntota horizontal); - mais alguns “saltos” localizados feitos por funções indicadoras (funções degrau) colocadas em
, e . Cada degrau cria uma descontinuidade somente no ponto escolhido; escolhendo a definição do degrau (se o valor no ponto é o da esquerda ou o da direita) garantimos a continuidade lateral desejada.
Vou explicar cada peça com calma e depois verificar todas as propriedades.
Passo 3
Escolher uma base contínua que tenda a
. Uma escolha simples e suave é
Explicação didática:
- A função
é contínua em todo e quando . - Logo
é contínua em todo e . Assim já tem a reta como assíntota horizontal.
Passo 4
Definir degraus (funções indicadores) e explicar suas propriedades de continuidade lateral.
- Para criar descontinuidade em
Observações:
; é contínua para todo
; no ponto ela satisfaz , ou seja é contínua pela direita em e tem descontinuidade pela esquerda. - Para criar descontinuidade em
que seja contínua pela esquerda, usar o indicador aberto à direita Observações: e tem descontinuidade pela direita.]
Passo 5
Combinar tudo: somar à base
três degraus com coeficientes que criem saltos não nulos nos pontos pedidos, mas que se anulem no infinito para preservar a assíntota
.
Escolho coeficientes simples
,
,
. Note que
— isto é importante para que os degraus não alterem o limite quando
.
Defino então
Reescrevendo com
,
Passo 6
Verificar as descontinuidades e as continuidades laterais em cada ponto pedido.
-
Em
: - Para
próximo de vale . - Para
vale e, pelo nosso uso da versão com , . - Portanto
, enquanto . Em particular as duas são diferentes porque o salto é . Como (valor dado pela definição do indicador), a função é descontínua em mas contínua pela direita em . (Isso usa que os outros indicadores não mudam valor ao cruzar — eles só saltam em e .)
- Para
-
Em
: - Idêntico ao caso
: a presença de com coeficiente cria um salto de tamanho em , e como foi tomada com valor em , temos . Logo há descontinuidade em e continuidade pela direita em .
- Idêntico ao caso
-
Em
: - Aqui usamos
, que vale em e vale para . - Então
não inclui o termo (pois é à esquerda), e esse mesmo valor (porque ). Já inclui , logo difere por . Assim é descontínua em e contínua pela esquerda em , como exigido.
- Aqui usamos
Passo 7
Verificar continuidade nos outros pontos de
.
- Cada indicador
é constante em intervalos que não contêm seus pontos de salto. A soma de funções contínuas e de indicadores que só saltam em é contínua em todo ponto que não seja exatamente um desses três. Assim é contínua em todo .
Passo 8
Verificar a assíntota horizontal única
.
- Quando
: todos os indicadores valem , logo - Quando
: os indicadores valem cada um, então a soma dos coeficientes dos degraus é . Assim - Como ambos os limites em
são , a reta é assíntota horizontal para . Não existe outra assíntota horizontal porque os únicos limites possíveis em são esse (ambos iguais a ).
Passo 9
Comentário final e interpretação prática (uma intuição para a prova): a construção fez duas coisas simples e muito úteis em questões de construção de funções com descontinuidades controladas:
- usar uma base contínua que já tem o comportamento em infinito desejado;
- adicionar indicadores/degraus com coeficientes que produzam saltos somente nos pontos desejados, escolhendo a forma do degrau (incluir ou não o ponto no conjunto) para fixar se a função é contínua pela direita ou pela esquerda naquele ponto;
- ajustar os coeficientes para que a contribuição total dos degraus se anule no infinito (preservando a assíntota desejada).
Resposta
onde