Esboce o gráfico de uma função que seja descontínua em x=K, porém contínua à direita nesse ponto, descontínua em x=G e x=-E, porém contínua à direita em x=G e contínua à esquerda em x=-E. Além disso, a função deve ser contínua em todos os outros pontos de \mathbb{R} e deve ter apenas a reta y=D^{3} como assíntota horizontal.

Passo 1

O que o enunciado pede (lista clara):
  • Construir (esboçar) uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que tenha as seguintes propriedades:
    • é descontínua em x=K, porém contínua à direita em x=K;
    • é descontínua em x=G, porém contínua à direita em x=G;
    • é descontínua em x=-E, porém contínua à esquerda em x=-E;
    • é contínua em todos os outros pontos de \mathbb{R};
    • tem apenas a reta y=D^{3} como assíntota horizontal (isto é, os limites em \pm\infty devem dar D^{3}).
  • As letras K,G,E,D são constantes reais dadas; não foi pedido um único tipo de gráfico, apenas um exemplo que satisfaça todas as condições.

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): montar f como soma de duas partes:
  • uma parte de base contínua g(x) que já tende para D^{3} quando x\to\pm\infty (assim garantimos a assíntota horizontal);
  • mais alguns “saltos” localizados feitos por funções indicadoras (funções degrau) colocadas em x=K, x=G e x=-E. Cada degrau cria uma descontinuidade somente no ponto escolhido; escolhendo a definição do degrau (se o valor no ponto é o da esquerda ou o da direita) garantimos a continuidade lateral desejada.
    Vou explicar cada peça com calma e depois verificar todas as propriedades.

Passo 3

Escolher uma base contínua que tenda a D^{3}. Uma escolha simples e suave é
g(x)=D^{3}+\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicação didática:
  • A função x\mapsto \dfrac{1}{1+x^{2}} é contínua em todo \mathbb{R} e \dfrac{1}{1+x^{2}}\to 0 quando x\to\pm\infty.
  • Logo g(x) é contínua em todo \mathbb{R} e \lim_{x\to\pm\infty} g(x)=D^{3}. Assim g já tem a reta y=D^{3} como assíntota horizontal.

Passo 4

Definir degraus (funções indicadores) e explicar suas propriedades de continuidade lateral.
  • Para criar descontinuidade em x=a\) que seja contínua pela direita, usar o indicador direito \[\chi_{[a,\infty)}(x)= \begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] 1, & x\ge a. \end{cases}Observações: \chi_{[a,\infty)}\] tem salto em \[x=a; é contínua para todo x\neq a; no ponto x=a ela satisfaz \chi_{[a,\infty)}(a)=1=\lim_{x\to a^{+}}\chi_{[a,\infty)}(x), ou seja é contínua pela direita em a e tem descontinuidade pela esquerda.
  • Para criar descontinuidade em x=a que seja contínua pela esquerda, usar o indicador aberto à direita \chi_{(a,\infty)}(x)= \begin{cases} 0, & x\le a,\\[4pt] 1, & x>a. \end{cases}Observações: \chi_{(a,\infty)}(a)=0=\lim_{x\to a^{-}}\chi_{(a,\infty)}(x)\], logo é contínua pela esquerda em \(a e tem descontinuidade pela direita.]

Passo 5

Combinar tudo: somar à base g três degraus com coeficientes que criem saltos não nulos nos pontos pedidos, mas que se anulem no infinito para preservar a assíntota y=D^{3}.
Escolho coeficientes simples A=1, B=1, C=-2. Note que A+B+C=0 — isto é importante para que os degraus não alterem o limite quando x\to+\infty.
Defino então
f(x)=g(x)+1\cdot\chi_{[K,\infty)}(x)+1\cdot\chi_{[G,\infty)}(x)-2\cdot\chi_{(-E,\infty)}(x).
Reescrevendo com g,
f(x)=D^{3}+\frac{1}{1+x^{2}}+\chi_{[K,\infty)}(x)+\chi_{[G,\infty)}(x)-2\,\chi_{(-E,\infty)}(x).

Passo 6

Verificar as descontinuidades e as continuidades laterais em cada ponto pedido.
  • Em x=K:
    • Para x<K próximo de K vale \chi_{[K,\infty)}(x)=0.
    • Para x\to K^{+} vale \chi_{[K,\infty)}(x)=1 e, pelo nosso uso da versão com [K,\infty), \chi_{[K,\infty)}(K)=1.
    • Portanto \lim_{x\to K^{-}} f(x)=\bigl(D^{3}+\tfrac{1}{1+K^{2}}\bigr)+\chi_{[G,\infty)}(K)-2\chi_{(-E,\infty)}(K), enquanto \lim_{x\to K^{+}} f(x)=\lim_{x\to K^{-}} f(x)+1. Em particular as duas são diferentes porque o salto é +1. Como f(K)=\lim_{x\to K^{+}} f(x) (valor dado pela definição do indicador), a função é descontínua em K mas contínua pela direita em K. (Isso usa que os outros indicadores não mudam valor ao cruzar K — eles só saltam em G e -E.)
  • Em x=G:
    • Idêntico ao caso K: a presença de \chi_{[G,\infty)} com coeficiente 1 cria um salto de tamanho +1 em G, e como \chi_{[G,\infty)} foi tomada com valor 1 em G, temos f(G)=\lim_{x\to G^{+}} f(x). Logo há descontinuidade em G e continuidade pela direita em G.
  • Em x=-E:
    • Aqui usamos \chi_{(-E,\infty)}, que vale 0 em x=-E e vale 1 para x>-E.
    • Então \lim_{x\to(-E)^{-}} f(x) não inclui o termo -2\cdot\chi_{(-E,\infty)} (pois é 0 à esquerda), e f(-E)= esse mesmo valor (porque \chi_{(-E,\infty)}(-E)=0). Já \lim_{x\to(-E)^{+}} f(x) inclui -2\cdot 1, logo difere por -2. Assim f é descontínua em -E e contínua pela esquerda em -E, como exigido.

Passo 7

Verificar continuidade nos outros pontos de \mathbb{R}.
  • Cada indicador \chi_{[K,\infty)},\chi_{[G,\infty)},\chi_{(-E,\infty)} é constante em intervalos que não contêm seus pontos de salto. A soma de funções contínuas e de indicadores que só saltam em K,G,-E é contínua em todo ponto que não seja exatamente um desses três. Assim f é contínua em todo x\in\mathbb{R}\setminus\{K,G,-E\}.

Passo 8

Verificar a assíntota horizontal única y=D^{3}.
  • Quando x\to -\infty: todos os indicadores valem 0, logo \lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\Bigl(D^{3}+\frac{1}{1+x^{2}}\Bigr)=D^{3}.
  • Quando x\to +\infty: os indicadores valem 1 cada um, então a soma dos coeficientes dos degraus é A+B+C=1+1-2=0. Assim \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\Bigl(D^{3}+\frac{1}{1+x^{2}}+1+1-2\Bigr)=D^{3}.
  • Como ambos os limites em \pm\infty são D^{3}, a reta y=D^{3} é assíntota horizontal para x\to\pm\infty. Não existe outra assíntota horizontal porque os únicos limites possíveis em \pm\infty são esse (ambos iguais a D^{3}).

Passo 9

Comentário final e interpretação prática (uma intuição para a prova): a construção fez duas coisas simples e muito úteis em questões de construção de funções com descontinuidades controladas:
  • usar uma base contínua que já tem o comportamento em infinito desejado;
  • adicionar indicadores/degraus com coeficientes que produzam saltos somente nos pontos desejados, escolhendo a forma do degrau (incluir ou não o ponto no conjunto) para fixar se a função é contínua pela direita ou pela esquerda naquele ponto;
  • ajustar os coeficientes para que a contribuição total dos degraus se anule no infinito (preservando a assíntota desejada).

Resposta

f(x)=D^{3}+\frac{1}{1+x^{2}}+\chi_{[K,\infty)}(x)+\chi_{[G,\infty)}(x)-2\,\chi_{(-E,\infty)}(x),
onde
\chi_{[a,\infty)}(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\[4pt]1,&x\ge a,\end{cases}\qquad \chi_{(a,\infty)}(x)=\begin{cases}0,&x\le a,\\[4pt]1,&x>a.\end{cases}]

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