Um tanque apresenta duas partições separadas por uma membrana. A partição A contém 1 kg de ar e apresenta volume igual a 0,5 \mathrm{~m}^{3}. O volume da partição B é de 0,75 \mathrm{m}^{3} e esta contém ar com massa específica igual a 0,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A membrana é rompida e o ar atinge um estado uniforme. Determine a massa específica do ar no estado final do processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • A partição A contém massa m_A = 1\\ \mathrm{kg}.
    • O volume da partição A é V_A = 0,5\\ \mathrm{m}^{3}.
    • O volume da partição B é V_B = 0,75\\ \mathrm{m}^{3}.
    • A partição B contém ar com massa específica (densidade) \rho_B = 0,8\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Pedido:
    • Determinar a massa específica do ar no estado final, ou seja, a densidade uniforme final \rho_f após a membrana ser rompida e o ar se misturar.

Passo 2

Entender e escrever a lei que vamos usar: conservação da massa. Ao romper a membrana não há perda de massa para fora do sistema, portanto a massa total final m_{\text{tot}} é a soma das massas que já existiam nas duas partições. Além disso, o volume total final V_{\text{tot}} é a soma dos volumes das duas partições, pois elas se juntam.
Também usaremos a relação entre massa, densidade e volume:
m = \rho\,V,
onde:
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • \rho é a massa específica ou densidade (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^{3}).

Passo 3

Calcular a massa do ar que estava na partição B usando m_B=\rho_B V_B.
Escrevendo em frações para não depender de calculadora:
\rho_B = 0,8=\frac{8}{10},\qquad V_B=0,75=\frac{75}{100}.
Logo
m_B = \rho_B V_B = \frac{8}{10}\cdot\frac{75}{100}=\frac{600}{1000}=0,6\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a massa total e o volume total:
  • Massa total:
m_{\text{tot}} = m_A + m_B = 1 + 0,6 = 1,6\\ \mathrm{kg}.
  • Volume total:
V_{\text{tot}} = V_A + V_B = 0,5 + 0,75 = 1,25\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Calcular a densidade final \rho_f usando \rho_f = \dfrac{m_{\text{tot}}}{V_{\text{tot}}}. Explico: densidade é massa por volume; após a mistura a massa está distribuída no volume total, então divisamos a massa total pelo volume total.
Escrevendo o quociente e simplificando sem calculadora:
\rho_f = \frac{1,6}{1,25}.
Multiplicando numerador e denominador por 100 para evitar vírgulas:
\rho_f = \frac{160}{125}.
Dividindo por 5:
\rho_f = \frac{32}{25}.
Fazendo a divisão 32\div25:
\rho_f = 1,28\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Interpretação final rápida e dica para a prova: o raciocínio principal é sempre conservar massa e somar volumes quando compartimentos se unem. Se em outra questão faltarem dados (por exemplo energia, calor, etc.), aí outros princípios entram; aqui só foi preciso massa e volume. Boa — você já tem a resposta numérica e a estratégia clara para aplicar em problemas semelhantes.

Resposta

\rho_f = 1,28\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}

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