Determine o domínio, a imagem e o período da função
\ell(\theta)=G-K+\operatorname{sec} \left(\frac{\theta}{I^{2}+3}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
\ell(\theta)=G-K+\operatorname{sec}\!\left(\frac{\theta}{I^{2}+3}\right)
e pede três coisas: o domínio, a imagem e o período dessa função. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • G, K e I são constantes (assume-se que sejam números reais).
  • A variável é \theta.
  • Note que I^{2}+3>0 para qualquer I\in\mathbb{R} (porque I^{2}\ge 0 e somando 3 fica estritamente positivo).
Nada mais foi dito; a resolução seguirá a partir dessa função e dessas observações.

Passo 2

Entender o domínio: quando a função está bem definida?
A função usa \operatorname{sec}, e por definição
\operatorname{sec}(u)=\frac{1}{\cos(u)}.
Portanto a função \operatorname{sec}(u) só está definida quando \cos(u)\neq 0. Aplicando isso ao nosso caso, precisamos de
\cos\!\left(\frac{\theta}{I^{2}+3}\right)\neq 0.
As soluções da equação \cos(u)=0 são exatamente
u=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo u=\dfrac{\theta}{I^{2}+3} obtemos os valores de \theta onde a função não está definida:
\frac{\theta}{I^{2}+3}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=(I^{2}+3)\Big(\frac{\pi}{2}+k\pi\Big),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto o domínio é todos os reais exceto esses pontos. Em notação:
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{(I^{2}+3)\Big(\frac{\pi}{2}+k\pi\Big)\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 3

Entender a imagem: quais valores \ell(\theta) pode assumir?
Primeiro, qual é a imagem de \operatorname{sec}(u) sozinho? Como \cos(u)\in[-1,1] e \cos(u)\neq 0 nos pontos de interesse, temos
\operatorname{sec}(u)=\frac{1}{\cos(u)}\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Isso porque quando |\cos(u)|\le 1 então |\operatorname{sec}(u)|\ge 1, e ao atingir \cos(u)=\pm 1 tem-se \operatorname{sec}(u)=\pm 1. Também perto das posições onde \cos(u)=0 o valor de \operatorname{sec}(u) tende a \pm\infty, confirmando a parte infinita da imagem.
Na nossa função há um deslocamento vertical por G-K. Se chamarmos c=G-K, então
\ell(\theta)=c+\operatorname{sec}\!\left(\frac{\theta}{I^{2}+3}\right).
Adicionar c desloca a imagem de \operatorname{sec} rigidamente para cima em c. Logo a imagem de \ell é
\mathrm{Im}(\ell)=(-\infty,c-1]\cup[c+1,\infty)
ou, escrevendo c=G-K,
\mathrm{Im}(\ell)=(-\infty,\;G-K-1]\;\cup\;[\,G-K+1,\;\infty).

Passo 4

Determinar o período: o período T>0 é o menor número positivo tal que
\ell(\theta+T)=\ell(\theta)\quad\text{para todo }\theta\text{ do domínio}.í
O termo constante G-K não afeta periodicidade. Resta analisar \operatorname{sec}\!\left(\dfrac{\theta}{I^{2}+3}\right). A função \operatorname{sec}(u) tem período 2\pi porque \cos(u) tem período 2\pi (e \operatorname{sec} é 1/\cos). Para a função composta u=\dfrac{\theta}{I^{2}+3} um aumento em \theta que provoque um aumento de 2\pi em u garante repetição. Ou seja, queremos T tal que
\frac{\theta+T}{I^{2}+3}=\frac{\theta}{I^{2}+3}+2\pi,
o que dá
\frac{T}{I^{2}+3}=2\pi \quad\Longrightarrow\quad T=2\pi\,(I^{2}+3).
Como 2\pi é o menor período positivo de \operatorname{sec}(u), este T é o menor período positivo da nossa função \ell(\theta). Portanto o período é
T=2\pi\,(I^{2}+3).

Resposta

\displaystyle \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{(I^{2}+3)\Big(\frac{\pi}{2}+k\pi\Big)\;:\;k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle \mathrm{Im}(\ell)=(-\infty,\;G-K-1]\cup[\,G-K+1,\;\infty)
\displaystyle T=2\pi\,(I^{2}+3)

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