Determine o domínio, a imagem e o período da função
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede três coisas: o domínio, a imagem e o período dessa função. Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
, e são constantes (assume-se que sejam números reais). - A variável é
. - Note que
para qualquer (porque e somando fica estritamente positivo).
Nada mais foi dito; a resolução seguirá a partir dessa função e dessas observações.
Passo 2
Entender o domínio: quando a função está bem definida?
A função usa , e por definição
A função usa
Portanto a função
só está definida quando
. Aplicando isso ao nosso caso, precisamos de
As soluções da equação
são exatamente
Substituindo
obtemos os valores de
onde a função não está definida:
Portanto o domínio é todos os reais exceto esses pontos. Em notação:
Passo 3
Entender a imagem: quais valores
pode assumir?
Primeiro, qual é a imagem de sozinho? Como
e
nos pontos de interesse, temos
Primeiro, qual é a imagem de
Isso porque quando
então
, e ao atingir
tem-se
. Também perto das posições onde
o valor de
tende a
, confirmando a parte infinita da imagem.
Na nossa função há um deslocamento vertical por
. Se chamarmos
, então
Adicionar
desloca a imagem de
rigidamente para cima em
. Logo a imagem de
é
ou, escrevendo
,
Passo 4
Determinar o período: o período
é o menor número positivo tal que
O termo constante
não afeta periodicidade. Resta analisar
. A função
tem período
porque
tem período
(e
é
). Para a função composta
um aumento em
que provoque um aumento de
em
garante repetição. Ou seja, queremos
tal que
o que dá
Como
é o menor período positivo de
, este
é o menor período positivo da nossa função
. Portanto o período é