Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume de água do reservatório, em litros, t horas após o início do escoamento é dado por:
V(t)=100 cdot(20-t)^2
Determine a taxa de variação do volume de água no reservatório após 9 horas do início do escoamento. (valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um reservatório de água que está sendo esvaziado, e a gente precisa descobrir qual é a taxa de variação do volume de água depois de 9 horas. Isso significa que vamos calcular a derivada da função que descreve o volume em relação ao tempo. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve o volume de água no reservatório em função do tempo:
V(t) = 100 cdot (20 - t)^2
Aqui, $ V(t) $ é o volume em litros e $ t $ é o tempo em horas.

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa de variação do volume, ou seja, como o volume está mudando ao longo do tempo, precisamos calcular a derivada de $ V(t) $ em relação a $ t $. Vamos chamar essa derivada de $ V’(t) $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada:
V(t) = 100 cdot (20 - t)^2
Usamos a regra do poder para derivar:
V'(t) = 100 cdot 2 cdot (20 - t) cdot ddt(20 - t)
A derivada de $ (20 - t) $ em relação a $ t $ é $ -1 $, então:
(20 - t)

Passo 5

Agora substituímos $ t = 9 $ horas na expressão da derivada para encontrar a taxa de variação após 9 horas:
t = 9

Resposta

A taxa de variação do volume de água no reservatório após 9 horas é de -2200 litros por hora.

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