INSTITUTO FEDERAL Ceará IFCE - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIẾNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ
Campus Iguatu
Disciplina: Cálculo II
Professor: Cleilton Bezerra de Melo
|c|c| hline mu avaliação parcial
Iguatu Nome:
*Observações
  1. Esta avaliação vale 10 pontos. Leia atentamente antes de respondê-la.
  2. Uso obrigatório de caneta de tinta azul ou preta. O uso de lápis implicará na perda do direito de revisão de prova.
  3. Todas as questōes devem estar devidamente justificadas.
  4. Não é permitido a utilização de calculadoras, livros, cadernos, anotaçōes, celulares e smartphones dentre outros.
  5. Em caso de cola, a prova estará automaticamente anulada.
  6. Só será permitida a saída de sala após 40 minutos do início de sua aplicação.
    Desenhe o conjunto A dado e calcule sua área. A é o conjunto do plano limitados pela reta y=0 e pelo gráfico de y=3-2 x-x^2 com -2 <= x <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto A limitado pelas curvas y=0 e y=3−2x−x² no intervalo x∈[−2,3] e calcular sua área. Vamos usar integrais definidas para isso.

Passo 2

Para saber onde a parábola fica acima ou abaixo do eixo x, resolvemos 3−2x−x²=0. Temos x²+2x−3=0, com raízes x=1 e x=−3. No nosso intervalo [−2,3], só interessa x=1, pois em [−2,1] a parábola está acima de y=0 e em [1,3] ela está abaixo.

Passo 3

Como área sob o gráfico é ∫(f(x)−0)dx quando f(x)≥0 e ∫(0−f(x))dx quando f(x)≤0, separamos:
A=integral-2^1(3-2x-x^2),dx + integral1^3-(3-2x-x^2),dx

Passo 4

Calculamos a antiderivada
F(x)=integral(3-2x-x^2),dx=3x-x^2-x^33 Avaliando:
Para [−2,1]: F(1)−F(−2)=\frac{5}{3}-\Bigl(-\frac{22}{3}\Bigr)=9.
Para [1,3]: −\bigl(F(3)−F(1)\bigr)=−\bigl(-9-\tfrac{5}{3}\bigr)=\frac{32}{3}.

Passo 5

Somando as duas áreas temos
A=9+323=27+323=593

Resposta

593

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