Considere um tetraedro definido pelos vetores linearmente independentes . Utilizando integrais triplas e a mesma transformação do exercício anterior, mostre que o volume deste tetraedro é
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro cujos vértices são 0, , e , usando integrais triplas e uma transformação linear. Vamos usar como ferramenta o cálculo de jacobiano de uma transformação que leva o simplex padrão ao tetraedro gerado por .
Passo 2
Definimos a transformação linear dada por
onde varia no domínio
Esse domínio é o simplex padrão de volume .
Passo 3
O jacobiano da transformação é constante e vale o determinante da matriz cujas colunas são as componentes de . Ou seja,
Como estamos calculando volume, usamos o valor absoluto do jacobiano dentro da integral:
V = integral triplaD |JT| , dr,ds,dt Mas |JT| é constante e o volume de D é tfrac16, então
V = |JT| cdot Vol(D) = |JT| cdot tfrac16
Resposta
V = \tfrac16\left|\detu1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3\right|