Considere um tetraedro definido pelos vetores linearmente independentes u=u1 i+u2 j+u3 k, v=v1 i+v2 j+v3 k e w=w1 i+w2 j+w3 k. Utilizando integrais triplas e a mesma transformação do exercício anterior, mostre que o volume deste tetraedro é

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro cujos vértices são 0, u, v e w, usando integrais triplas e uma transformação linear. Vamos usar como ferramenta o cálculo de jacobiano de uma transformação que leva o simplex padrão ao tetraedro gerado por u,v,w.

Passo 2

Definimos a transformação linear T:,(r,s,t)mapsto x dada por
x = r,u + s,v + t,w,
onde (r,s,t) varia no domínio
D = (r,s,t)inR^3:,r>=0, s>=0, t>=0, r+s+t<=1 Esse domínio D é o simplex padrão de volume tfrac13!=tfrac16.

Passo 3

O jacobiano da transformação T é constante e vale o determinante da matriz cujas colunas são as componentes de u,v,w. Ou seja,
JT = detu1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3 Como estamos calculando volume, usamos o valor absoluto do jacobiano dentro da integral:
V = integral triplaD |JT| , dr,ds,dt Mas |JT| é constante e o volume de D é tfrac16, então
V = |JT| cdot Vol(D) = |JT| cdot tfrac16

Resposta

V = \tfrac16\left|\det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3\right|

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