Esboce o gráfico da função.
z=ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

Estamos lidando com a superfície dada por z=ln(1+x²+y²). O conteúdo é esboço de gráfico de função de duas variáveis e vamos usar simetria radial, curvas de nível e comportamento assintótico para visualizar a superfície.

Passo 2

O domínio é todo o plano (x,y)∈ℝ², pois 1+x²+y²>0 sempre. Introduzimos r=√(x²+y²), então a função depende de r conforme z=ln(1+r²). Isso mostra que a superfície é de revolução em torno do eixo z.

Passo 3

Para entender as curvas de nível, fixamos z=c. Então temos ln(1+r²)=c, ou seja 1+r²=eᶜ. Isso dá r²=eᶜ−1, logo as curvas de nível são círculos de raio r=√(eᶜ−1) centrados na origem no plano xy. À medida que c aumenta, os círculos crescem.

Passo 4

Analisando o comportamento em r=0, vemos z=ln1=0, ou seja o ponto mais baixo está em (0,0,0). Para r pequeno podemos usar ln(1+r²)≈r², mostrando que perto da origem a superfície se parece com um paraboloide z≈x²+y². Para r grande, ln(1+r²)≈2ln
, indicando crescimento infinito, mas mais lento que um paraboloide.

Passo 5

Com todas essas informações, o esboço é um “bowl” (tigela) de revolução suave, mínimo em (0,0,0), com seções transversais circulares que crescem e uma subida que fica progressivamente mais lenta. É uma superfície convexa e não tem limites superiores para z.

Resposta

Superfície de revolução em torno do eixo z, mínima em (0,0,0), com formato de tigela logarítmica dada por z=ln(1+r²), em que cada seção horizontal z=c é um círculo de raio √(eᶜ−1).

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