Esboce o gráfico da função.
z=(x^2+y^2)^-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: precisamos esboçar o gráfico da função $ z = \left(x^{2} + y{2}\right){-1} $. Isso envolve trabalhar com funções de várias variáveis, ou seja, funções que dependem de mais de uma variável, no caso, $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta à medida que $ x $ e $ y $ variam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da função. Temos $ z = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $. Isso significa que o valor de $ z $ depende da soma dos quadrados de $ x $ e $ y $. Quanto maior for a soma $ x^{2} + y^{2} $, menor será $ z $, e vice-versa.

Passo 3

Vamos analisar alguns pontos específicos para entender melhor o gráfico:
  • Quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $: Nesse caso, $ z = \frac{1}{0 + 0} $, o que não está definido. Isso indica que há uma assimptota vertical no ponto (0,0), ou seja, o gráfico se aproxima de $ z $ tende ao infinito perto da origem.
  • Quando $ x = 0 $ e $ y $ varia: A função se torna $ z = \frac{1}{y^{2}} $, que é uma parábola que se abre para cima em relação ao eixo $ y $.
  • Quando $ y = 0 $ e $ x $ varia: Similarmente, $ z = \frac{1}{x^{2}} $, também uma parábola que se abre para cima em relação ao eixo $ x $.

Passo 4

Agora, vamos considerar círculos com raio $ r $ no plano $ xy $. A equação $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ representa um círculo de raio $ r $ centrado na origem. Para cada círculo com raio $ r $, o valor de $ z $ será $ z = \frac{1}{r^{2}} $.
Isso significa que, à medida que nos afastamos do centro (origem), o valor de $ z $ diminui. O gráfico, portanto, terá “níveis” circulares onde $ z $ é constante em cada círculo de raio $ r $.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos visualizar o gráfico como uma superfície que se aproxima do infinito na origem e diminui gradualmente à medida que nos afastamos dela. Essa superfície é conhecida como um paraboloide hiperbólico.
Ela tem uma forma de “sela de cavalo”, onde se expande em todas as direções, mas a inclinação diminui à medida que $ x $ e $ y $ aumentam.

Resposta

O gráfico da função $ z = \left(x^{2} + y{2}\right){-1} $ é uma superfície em forma de paraboloide hiperbólico que se aproxima do infinito na origem (0,0) e diminui gradualmente à medida que $ x $ e $ y $ se afastam do centro, formando uma “sela de cavalo”.

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