Esboce o gráfico da função.
z=x+y^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função z=x+y^2, que é uma superfície em R³. Vamos usar cortes em planos coordenados para visualizar a forma da superfície.

Passo 2

Para y fixo em y=k temos
z = x + k^2
que no plano xz é uma reta de declive 1 e intercepto k^2. Conforme k varia, essas retas se deslocam para cima, formando um feixe de retas paralelas.
Para x fixo em x=c temos
z = c + y^2
que no plano yz é uma parábola com vértice em (y=0,z=c), abrindo para cima. À medida que c muda, a parábola desloca-se verticalmente.

Passo 3

Com esses cortes concluímos que a superfície é um cilindro parabólico: ao longo do eixo x temos retas inclinadas (declive 1) e em cada plano paralelo a yz temos parábolas.

Passo 4

No esboço, desenhe várias parábolas no plano yz deslocadas por diferentes x e trace as retas de declive 1 no plano xz, resultando num “chapéu” parabólico inclinado.
Esse conjunto de retas e parábolas interligadas revela a forma da superfície z=x+y^2, um cilindro parabólico inclinado no sentido do eixo x.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico definido por z–x=y², com seções em planos paralelos a yz sendo parábolas e em planos paralelos a xz sendo retas de declive 1. O esboço mostra essas curvas interligadas formando o “chapéu” parabólico inclinado.

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