Nos itens abaixo, encontre o fluxo do campo F dado através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0. Oriente a superfície para fora.
(a) F=y j ;
(b) F=y i-x j;
© F=-y i+x j-k;
(d) F=x^2 i+x y j+x z k.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos o fluxo do campo vetorial F através do hemisfério superior definido por x^2+y^2+z^2=a^2, z>=0, com a superfície orientada para fora. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência.
Estratégia geral: Aplicamos o Teorema da Divergência ao volume V que é a meia-bola de raio a. A fronteira de V é a união do hemisfério S (normal n para fora) e do disco base D em z=0 (normal nD=- k). Assim vale
integral duplaS Fcdot n,dS+integral duplaD Fcdot nD,dS=integral triplaVnablacdot F,dV
Logo
integral duplaS Fcdot n,dS=integral triplaVnablacdot F,dV-integral duplaD Fcdot nD,dS

Passo 2

Item (a): F=y j Calculamos a divergência
nablacdot F=partialpartial x(0)+partialpartial y(y)+partialpartial z(0)=1 Como nablacdot F=1 constante,
integral triplaV1,dV=vol(V)=tfrac12cdottfrac43pi a^3=tfrac23pi a^3 No disco D em z=0, F=(0,y,0) e nD=- k, logo
Fcdot nD=0Rightarrowintegral duplaD Fcdot nD,dS=0 Portanto o fluxo no hemisfério é
integral duplaS Fcdot n,dS=tfrac23pi a^3-0=tfrac23pi a^3

Passo 3

Item (b): F=y i-x j Divergência
nablacdot F=partialpartial x(y)+partialpartial y(-x)+0=0 Logo
integral triplaVnablacdot F,dV=0 No disco D, F=(y,-x,0) e nD=- k Fcdot nD=0, então o fluxo no hemisfério é
0-0=0

Passo 4

Item ©: F=-y i+x j- k Divergência
nablacdot F=partialpartial x(-y)+partialpartial y(x)+partialpartial z(-1)=0 No disco D, F=(-y,x,-1) e nD=- k logo
Fcdot nD=(-1)(-1)=1,integral duplaD1,dS=pi a^2 Como o integral da divergência é zero, o fluxo no hemisfério é
0-pi a^2=-pi a^2

Passo 5

Item (d): F=x^2 i+xy j+xz k Divergência
nablacdot F=2x+x+x=4x O integral de 4x sobre a meia-bola é zero (função ímpar em x sobre região simétrica), e no disco D, F=(x^2,xy,0) Fcdot nD=0. Portanto o fluxo é zero.

Resposta

(a) tfrac23pi a^3; (b) 0; © -pi a^2; (d) 0.

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