Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função definida por partes, determinar o domínio e a imagem, e verificar se ela é limitada (superior ou inferior) e se possui máximos ou mínimos globais. Vamos usar análise de cada trecho e propriedades de funções lineares e quadráticas.
Passo 2
O domínio de f é todo o conjunto dos números reais, porque há definição de f para x<0, para x=0 e para x>0. Assim, o domínio é
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Passo 3
Para x<0 temos f(x)=x−2. Essa é uma reta de coeficiente angular 1, intercepto −2, definida em (−∞,0). Como x→−∞, f(x)→−∞; e para x→0−, f(x)→−2 (sem atingir −2 pois x nunca chega a 0). Logo o valor de f nesse trecho varia em
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Passo 4
Em x=0 temos f(0)=0, um ponto isolado que vale exatamente 0.
Passo 5
Para x>0 temos f(x)=x^2+1. Essa é uma parábola com vértice em (0,1), mas como x nunca é 0, o valor mínimo que f( x) atinge em (0,∞) aproxima-se de 1 sem atingi-lo, e cresce indefinidamente. Logo a imagem desse trecho é
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Passo 6
Combinando todos os pedaços, a imagem de f é
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Passo 7
Para esboçar o gráfico: para x<0 desenhe a reta y=x−2, com ponto aberto em (0,−2); em x=0 marque ponto cheio em (0,0); para x>0 desenhe a parábola y=x^2+1, com ponto aberto em (0,1).
Passo 8
Como f(x)→−∞ quando x→−∞ e f(x)→∞ quando x→∞, a função não é limitada nem superiormente nem inferiormente.
Por não haver maior valor finito de f (ela cresce sem limite) e nem menor valor finito (vai a −∞), não existem máximos nem mínimos globais.
Por não haver maior valor finito de f (ela cresce sem limite) e nem menor valor finito (vai a −∞), não existem máximos nem mínimos globais.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Não é limitada superiormente nem inferiormente
Não possui máximos ou mínimos globais