Encontre a integral indefinida integral f(x) d x da função dada.
f(x)=sec (x)(sec (x)+tan (x))

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral f(x),dx da função f(x)=sec(x)l(sec(x)+tan(x)r). O conteúdo é integração de funções trigonométricas; para resolver, vamos usar as derivadas de tan(x) e sec(x).

Passo 2

Expandimos o integrando para separar em termos cujas primitivas conhecemos. Temos:
f(x)=sec(x)l(sec(x)+tan(x)r)=sec^2(x)+sec(x)tan(x)
Lembrando que tfracddx[tan(x)]=sec^2(x) e tfracddx[sec(x)]=sec(x)tan(x).

Passo 3

Reconhecemos que cada parcela do integrando é exatamente uma derivada básica: sec^2(x)=tfracddx[tan(x)] e sec(x)tan(x)=tfracddx[sec(x)].

Passo 4

Basta então integrar termo a termo usando as primitivas conhecidas: integralsec^2(x),dx=tan(x) e integralsec(x)tan(x),dx=sec(x). A primitiva geral é a soma dessas, absorvendo as constantes em uma única C.

Resposta

tan(x)+sec(x)+C

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