Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
f(x)=-4 sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=−4
sen(x), determinar o domínio, a imagem (se possível), verificar se é limitada e identificar máximos e mínimos globais. O conteúdo é função trigonométrica (seno), precisaremos saber a definição de domínio da função seno, seu intervalo de valores e como a multiplicação e o sinal negativo afetam amplitude e posição de máximo/mínimo.

Passo 2

A função seno está definida para todo x real. Portanto, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais: R.

Passo 3

Sabemos que sin(x) varia entre -1 e 1, ou seja, sin(x)in[-1,1]. Multiplicando por −4, obtemos:
−4sin(x)in[−4cdot1,−4cdot(−1)]=[−4,4]
Como a imagem é um intervalo fechado [-4,4], a função é limitada superiormente (por 4) e inferiormente (por −4).

Passo 4

Para achar máximos e mínimos globais, igualamos a função aos extremos da imagem: o máximo ocorre quando −4sin(x)=4, isto é, sin(x)=−1, ou seja, x=3pi/2+2pi k. O mínimo ocorre quando −4sin(x)=−4, isto é, sin(x)=1, logo x=pi/2+2pi k.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note que é uma senoide com amplitude 4, período 2pi, invertida (por conta do sinal negativo) e centrada em zero. Em x=0 temos f(0)=0; em x=\pi/2 f=−4; em x=\pi f=0; em x=3\pi/2 f=4; em x=2\pi f=0, e daí repete-se.

Resposta

Domínio: R. Imagem: [-4,4]. Está limitada superiormente por 4 e inferiormente por −4. Possui máximo global f=4 em x=3pi/2+2pi k e mínimo global f=−4 em x=pi/2+2pi k.

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