Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=3^{2x}, determinar domínio e imagem, verificar se é limitada superior ou inferiormente e se possui máximos ou mínimos globais. O conteúdo envolvido é funções exponenciais, assíntotas horizontais e análise de limites.
Passo 2
O domínio de toda função exponencial com base positiva (diferente de 1) é o conjunto de todos os números reais. Portanto o domínio de f é
f(x)=3^{2x} ⇒ Dom(f)=ℝ.
f(x)=3^{2x} ⇒ Dom(f)=ℝ.
Passo 3
Para entender o comportamento da curva, reescrevemos f de forma equivalente:
Como a base 9>1, a função é estritamente crescente. Note que f(0)=9^0=1, e à medida que x cresce, f(x) aumenta.
Passo 4
Para achar a imagem, analisamos os limites nos extremos: quando x→−∞, 9^x→0; quando x→+∞, 9^x→+∞. Logo a imagem é (0,∞).
O gráfico tem assíntota horizontal y=0, cruza o ponto (0,1) e cresce exponencialmente para a direita. À esquerda se aproxima de y=0 sem nunca tocá-la.
O gráfico tem assíntota horizontal y=0, cruza o ponto (0,1) e cresce exponencialmente para a direita. À esquerda se aproxima de y=0 sem nunca tocá-la.
Passo 5
Como a imagem é (0,∞), a função é limitada inferiormente (infimum=0) mas não é limitada superiormente. Não existe valor x tal que f(x)=0, logo não há mínimo atingido, e como cresce sem limite, não há máximo global.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. A função é limitada inferiormente por 0 (infimum=0) e não é limitada superiormente. Não possui máximo nem mínimo global.