Utilize o método dos retângulos para mostrar que a integral definida
é igual ao limite
e calcule o limite. Dica: Use as igualdades
e
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a integral definida
coincide com o limite da soma de retângulos
e, em seguida, calcular esse limite. O conteúdo da matéria é soma de Riemann pelo método dos retângulos, e vamos precisar das fórmulas
e
.
Passo 2
Vamos dividir o intervalo
em
subintervalos de largura
. Escolhemos como ponto de amostra em cada subintervalo o extremo direito
. Pelo método dos retângulos (com pontos à direita), a soma que aproxima a integral é
com
.
Passo 3
Substituindo
e
na soma, temos
logo
Isso mostra que a integral é o limite dessa soma.
Passo 4
Para calcular o limite, separamos as somas e usamos as fórmulas dadas:
Portanto a soma total é
Passo 5
Agora basta tomar o limite quando
. Note que
Assim
Resposta
-\frac{40}{3}