Utilize o método dos retângulos para mostrar que a integral definida integral0^4(x-x^2) d x é igual ao limite lim n infty 4n sumi=1^n(4 in-16 i^2n^2) e calcule o limite. Dica: Use as igualdades sumi=1^n i=n(n+1))2 e sumi=1^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a integral definida integral0^4(x - x^2),dx coincide com o limite da soma de retângulos limntoinfty 4nsumi=1^nl(tfrac4in-tfrac16i^2n^2r) e, em seguida, calcular esse limite. O conteúdo da matéria é soma de Riemann pelo método dos retângulos, e vamos precisar das fórmulas sumi=1^n i e sumi=1^n i^2.

Passo 2

Vamos dividir o intervalo [0,4] em n subintervalos de largura De. Escolhemos como ponto de amostra em cada subintervalo o extremo direito xi = 4i/n. Pelo método dos retângulos (com pontos à direita), a soma que aproxima a integral é
sumi=1^n f(xi),De
com f(x)=x-x^2.

Passo 3

Substituindo f(xi) e De na soma, temos
f(xi)=4in-gl(4ingr)^2=4in-16i^2n^2,
logo
sumi=1^n f(xi),De
Isso mostra que a integral é o limite dessa soma.

Passo 4

Para calcular o limite, separamos as somas e usamos as fórmulas dadas:
4nsumi=1^n4in = 16n^2sumi=1^n i = 16n^2cdotn(n+1)2 = 8(n+1)n,
4nsumi=1^n16i^2n^2 = 64n^3sumi=1^n i^2 = 64n^3cdotn(n+1)(2n+1)6 = 32(n+1)(2n+1)3n^2
Portanto a soma total é
4nsumi=1^nl(4in-16i^2n^2r) = 8(n+1)n - 32(n+1)(2n+1)3n^2

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando ntoinfty. Note que
limntoinftyn+1n=1,
limntoinfty(n+1)(2n+1)n^2=2
Assim
limntoinftyl(8(n+1)n - 32(n+1)(2n+1)3n^2r) =8 - 32cdot23 =8 - 643 = -403

Resposta

-\frac{40}{3}

Exercícios relacionados