Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
f(x)=ln (x2+1)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=lnl(tfracx2+1r), determinando seu domínio, imagem, se é limitada (superior ou inferiormente) e se possui máximos ou mínimos globais. O conteúdo usado será funções logarítmicas e as condições sobre o argumento do logaritmo.

Passo 2

Para obter o domínio, usamos que o argumento de um logaritmo precisa ser positivo:
x2 + 1 > 0
Resolvendo:
x2 > -1implies x > -2
Logo, o domínio é (-2,,infty).

Passo 3

Para encontrar a imagem, note que quando x percorre (-2,infty), o termo tfracx2+1 percorre (0,infty). Como
ln: (0,infty) to (-infty,infty)
seguimos que a imagem de f é ( -infty,infty).

Passo 4

Como a imagem é todo R, a função não é limitada nem superiormente nem inferiormente.

Passo 5

A derivada é
f'(x)=1tfracx2+1cdot12=1x+2>0(forall x>-2),
logo f é estritamente crescente. Portanto, não há máximo nem mínimo globais. À medida que xto -2^+, f(x)to -infty e, quando xtoinfty, f(x)toinfty.

Passo 6

O esboço do gráfico mostra uma assimptota vertical em x=-2; o ponto (0,0) está na curva e, a partir daí, ela cresce lentamente de forma logarítmica.

Resposta

Domínio: (-2, ∞)
Imagem: (−∞, ∞)
A função não é limitada nem superior nem inferiormente.
Não possui máximo nem mínimo globais.
Gráfico com assíntota vertical em x = −2, passa por (0,0) e é estritamente crescente.

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