Esboce o gráfico das funções abaixo, explicando sucintamente a construção de cada uma (deslocamento para cima, para baixo, para a esquerda, para a direita, achatamento horizontal e esticamento vertical).
y=-2 sin (x-pi6)

Passo 1

O problema pede para esboçar o gráfico de y = −2
sin (x − π/6) usando transformações a partir de y = sin
x, aplicando deslocamentos (fase), esticamento/achatamento e reflexão. Para organizar, usamos a forma geral y = A
sin[b(x − c)] + D, onde A é a amplitude, b afeta o período, c é o deslocamento horizontal (fase) e D é o deslocamento vertical. Aqui temos A = −2, b = 1, c = π/6 e D = 0.

Passo 2

O procedimento é: primeiro desenhar y = sin
x no intervalo de um período [0,2π]. Os pontos-chave são:
• x = 0,
sin 0 = 0
• x = π/2,
sin (π/2) = 1
• x = π,
sin π = 0
• x = 3π/2,
sin (3π/2) = −1
• x = 2π,
sin (2π) = 0

Passo 3

Agora vamos aplicar as transformações numa ordem lógica:
  1. Deslocamento horizontal (fase) c = π/6 para a direita: cada x dos pontos-chave soma π/6. Assim obtemos os novos pontos
    x: π/6, 2π/3, 7π/6, 5π/3, 13π/6
    y (ainda igual a sin
    x): 0, 1, 0, −1, 0
  2. Esticamento vertical por |A| = 2 e reflexão pelo sinal de A negativo: multiplicamos cada y por −2, invertendo o sinal e dobrando o valor absoluto. Os valores viram:
    y: 0, −2, 0, 2, 0
  3. O período não muda porque b = 1, logo período = 2π. E não há deslocamento vertical (D = 0).
    Com isso, podemos esboçar a curva suave que passa por esses pontos-chave, formando uma senoide de amplitude 2, invertida, deslocada π/6 para a direita.

Resposta

Gráfico de uma senoide de período 2π, amplitude 2, refletida sobre o eixo x e deslocada π/6 para a direita, sem deslocamento vertical; passa por (π/6,0), (2π/3,−2), (7π/6,0), (5π/3,2) e retorna a zero em (13π/6,0).

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