Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow \infty} \tan \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty} \tan\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão dentro da tangente é \frac{1}{x}.
  • Quando x\to\infty, a quantidade \frac{1}{x} tende a 0.
  • A tangente está bem definida em torno de 0 (pois \cos 0 = 1 \neq 0), então não há problema com singularidades próximas a 0.
    O objetivo final é obter o valor numérico desse limite.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para clarear: defina u=\dfrac{1}{x}. Então, quando x\to\infty temos u\to 0^+. A expressão de interesse fica
\lim_{x\to\infty} \tan\!\left(\frac{1}{x}\right)=\lim_{u\to 0^+}\tan(u).
Portanto basta calcular \lim_{u\to 0}\tan(u) (o limite pelos dois lados existe e coincide; aqui trabalhamos com u\to0^+ mas o argumento vale para 0 de forma geral).

Passo 3

Usar a identidade trigonométrica \tan(u)=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Escrever a tangente de forma conveniente para usar limites conhecidos:
\tan(u)=\frac{\sin u}{\cos u}=\left(\frac{\sin u}{u}\right)\cdot u\cdot\frac{1}{\cos u}.
Agora vamos analisar cada fator quando u\to 0:
  • O limite conhecido \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. (Justificação rápida: para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade \cos u \le \dfrac{\sin u}{u}\le 1; como \cos u\to 1 quando u\to 0, pelo teorema do confronto segue que \dfrac{\sin u}{u}\to 1.)
  • Obviamente \lim_{u\to 0} u = 0.
  • E \lim_{u\to 0} \cos u = 1, logo \lim_{u\to 0} \dfrac{1}{\cos u}=1.
Pela propriedade do limite do produto (produto dos limites quando todos existem e são finitos),
\lim_{u\to 0}\tan(u)=\lim_{u\to 0}\left(\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\lim_{u\to 0}u\cdot\lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}=1\cdot 0\cdot 1 = 0.

Passo 4

Interpretação intuitiva (útil para prova e para lembrar na hora): para ângulos muito pequenos (u\approx 0) vale a aproximação \tan u \approx u. Então se u\to 0, \tan u também tende a 0. Isso confirma o cálculo rigoroso acima.

Resposta

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