Calcule os seguintes limites, sem usar a regra de L’Hôpital
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão dentro da tangente é
. - Quando
, a quantidade tende a . - A tangente está bem definida em torno de
(pois ), então não há problema com singularidades próximas a .
O objetivo final é obter o valor numérico desse limite.
Passo 2
Fazer uma substituição simples para clarear: defina
. Então, quando
temos
. A expressão de interesse fica
Portanto basta calcular
(o limite pelos dois lados existe e coincide; aqui trabalhamos com
mas o argumento vale para
de forma geral).
Passo 3
Usar a identidade trigonométrica
. Escrever a tangente de forma conveniente para usar limites conhecidos:
Agora vamos analisar cada fator quando
:
- O limite conhecido
. (Justificação rápida: para vale a desigualdade ; como quando , pelo teorema do confronto segue que .) - Obviamente
. - E
, logo .
Pela propriedade do limite do produto (produto dos limites quando todos existem e são finitos),
Passo 4
Interpretação intuitiva (útil para prova e para lembrar na hora): para ângulos muito pequenos
vale a aproximação
. Então se
,
também tende a
. Isso confirma o cálculo rigoroso acima.
Resposta
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