Esboçe o gráfico das funções.
f(x)=5 x^{3}-3 x^{5}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=5x^{3}-3x^{5}.
Esse é um polinômio de grau 5. Para esboçar o gráfico vamos analisar: domínio, paridade, zeros, derivadas (monotonia e concavidade), pontos críticos e comportamento assintótico.

Passo 2

Domínio e paridade
O domínio de f é todo \mathbb{R}. Como todos os expoentes de x são ímpares, f(-x)=-5x^{3}+3x^{5}=-\bigl(5x^{3}-3x^{5}\bigr)=-f(x). Logo, f é função ímpar e seu gráfico tem simetria central em (0,0).

Passo 3

Interceptos e zeros
Para achar os zeros, fatoramos
f(x)=x^{3}(5-3x^{2})=0.
Dessa forma os zeros são
x=0,\quad 5-3x^{2}=0\;\Longrightarrow\;x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}\approx\pm1{,}29.
O gráfico corta o eixo x em \bigl(-\sqrt{5/3},0\bigr), (0,0) e \bigl(\sqrt{5/3},0\bigr).

Passo 4

Derivada primeira e pontos críticos
Calculamos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{3}-3x^{5}\bigr)=15x^{2}-15x^{4}=15x^{2}(1-x^{2}).
Igualando a zero:
15x^{2}(1-x^{2})=0\;\Longrightarrow\;x=0\text{ (multiplicidade 2)},\;x=\pm1.
Os candidatos a extremos são x=-1, x=0 e x=1.

Passo 5

Monotonia e classificação dos pontos críticos
Analisamos o sinal de f'(x):
  • Para |x|>1, 1-x^{2}<0 e x^{2}>0 f'(x)<0. A função decresce em (1,\infty) e em (-\infty,-1).
  • Para 0<|x|<1, 1-x^{2}>0 f'(x)>0. A função cresce em (-1,0) e em (0,1).
    Em x=1 temos um máximo local com
f(1)=5\cdot1^{3}-3\cdot1^{5}=2.
Em x=-1 há um mínimo local com
f(-1)=5(-1)^{3}-3(-1)^{5}=-2.
Em x=0, como muda de crescente para crescente (sinal de f' não troca de - para +), temos ponto de inflexão estacionário.

Passo 6

Derivada segunda e concavidade
Calculamos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(15x^{2}-15x^{4}\bigr)=30x-60x^{3}=30x\,(1-2x^{2}).
Zeramos para inflexões:
30x\,(1-2x^{2})=0\;\Longrightarrow\;x=0,\;x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\approx\pm0{,}707.
Testando o sinal de f'':
  • x<-\tfrac1{\sqrt2}: f''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • -\tfrac1{\sqrt2}<x<0: f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • 0<x<\tfrac1{\sqrt2}: f''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • x>\tfrac1{\sqrt2}: f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
    Portanto pontos de inflexão em x=-1/\sqrt2, x=0 e x=1/\sqrt2.

Passo 7

Comportamento nos extremos e esboço final
Como \deg f=5 com termo líder -3x^{5}, vemos que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
Reunindo tudo:
• Zeros em \approx(-1{,}29,0), (0,0), (1{,}29,0).
• Extremo máximo em (1,2).
• Extremo mínimo em (-1,-2).
• Inflexões em x\approx-0{,}707,0,0{,}707.
• Cresce em (-\infty,-1), decresce em (-1,0), cresce em (0,1), decresce em (1,\infty).
A partir dessas informações, você pode traçar os arcos conectando suavemente: sobe vindo de +\infty, passa pelo mínimo em (-1,-2), cruza o eixo em (0,0), alcança o máximo em (1,2) e desce para -\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=5x^{3}-3x^{5} é uma curva ímpar com:
(a) interceptos em x\approx\pm1,29 e 0;
(b) mínimo local em (-1,-2);
(c) ponto de inflexão estacionário em (0,0);
(d) máximo local em (1,2);
(e) concavidade alternando em -1/\sqrt2,\,0,\,1/\sqrt2;
(f) comporta-se como f(x)\to-\infty para x\to+\infty e f(x)\to+\infty para x\to-\infty.

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