Esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Esse é um polinômio de grau 5. Para esboçar o gráfico vamos analisar: domínio, paridade, zeros, derivadas (monotonia e concavidade), pontos críticos e comportamento assintótico.
Passo 2
Domínio e paridade
O domínio de é todo
. Como todos os expoentes de
são ímpares,
. Logo,
é função ímpar e seu gráfico tem simetria central em
.
O domínio de
Passo 3
Interceptos e zeros
Para achar os zeros, fatoramos
Para achar os zeros, fatoramos
Dessa forma os zeros são
O gráfico corta o eixo
em
,
e
.
Passo 4
Derivada primeira e pontos críticos
Calculamos
Calculamos
Igualando a zero:
Os candidatos a extremos são
,
e
.
Passo 5
Monotonia e classificação dos pontos críticos
Analisamos o sinal de :
Analisamos o sinal de
- Para
, e ⇒ . A função decresce em e em . - Para
, ⇒ . A função cresce em e em .
Emtemos um máximo local com
Em
há um mínimo local com
Em
, como muda de crescente para crescente (sinal de
não troca de
para
), temos ponto de inflexão estacionário.
Passo 6
Derivada segunda e concavidade
Calculamos
Calculamos
Zeramos para inflexões:
Testando o sinal de
:
-
: ⇒ concavidade para cima. -
: ⇒ concavidade para baixo. -
: ⇒ concavidade para cima. -
: ⇒ concavidade para baixo.
Portanto pontos de inflexão em, e .
Passo 7
Comportamento nos extremos e esboço final
Como com termo líder
, vemos que
Como
Reunindo tudo:
• Zeros em ,
,
.
• Extremo máximo em .
• Extremo mínimo em .
• Inflexões em .
• Cresce em , decresce em
, cresce em
, decresce em
.
• Zeros em
• Extremo máximo em
• Extremo mínimo em
• Inflexões em
• Cresce em
A partir dessas informações, você pode traçar os arcos conectando suavemente: sobe vindo de
, passa pelo mínimo em
, cruza o eixo em
, alcança o máximo em
e desce para
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva ímpar com:
(a) interceptos em e
;
(b) mínimo local em ;
(c) ponto de inflexão estacionário em ;
(d) máximo local em ;
(e) concavidade alternando em ;
(f) comporta-se como para
e
para
.
(a) interceptos em
(b) mínimo local em
(c) ponto de inflexão estacionário em
(d) máximo local em
(e) concavidade alternando em
(f) comporta-se como