Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para investigar a sequência
a_{n} = \Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr)^{n}
ou seja, trata-se de um problema de limite de sequência do tipo \bigl(1 + x/n\bigr)^{n}. Sabemos que a teoria diz que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac{x}{n}\Bigr)^{n} = e^{x}.
Aqui, x=2.

Passo 2

Para ver isso de forma elementar, definimos
L = \lim_{n\to\infty} a_{n}
e trabalhamos com o logaritmo natural:
\ln a_{n} = n \,\ln\!\Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr).
Como n\to\infty, usamos a expansão \ln(1+y)=y - y^{2}/2 + o(y^{2}) com y=2/n, obtendo
\ln a_{n} = n\Bigl(\frac{2}{n} - \frac{1}{2}\frac{4}{n^{2}} + o\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\Bigr) = 2 - \frac{2}{n} + o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Logo
\lim_{n\to\infty}\ln a_{n} = 2.

Passo 3

Como a função exponencial é contínua, temos
L = \lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_{n}} = e^{\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}} = e^{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^{2}.

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