Esboçe o gráfico das funções.
f(x)=-x^{3}+3 x+2

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
f(x) = -x^{3} + 3x + 2.
O conteúdo envolvido é o estudo de polinômios (grau 3): vamos identificar interceptos, comportamento nas extremidades, extremos locais (usando f') e pontos de inflexão (usando f''), para depois montar um esboço confiável.

Passo 2

Vamos achar os interceptos com os eixos.
Intercepto em y: basta x=0, então
f(0)=2,
logo temos o ponto (0,2).
Interceptos em x: resolvemos
-x^{3}+3x+2=0.
Testando x=-1:
-(-1)^{3}+3(-1)+2=1-3+2=0,
logo x=-1 é raiz. Fazendo divisão sintética por (x+1) obtemos
f(x)=-(x+1)^{2}(x-2),
de modo que as raízes são x=-1 (multiplicidade 2) e x=2. Portanto, pontos (-1,0) e (2,0).

Passo 3

Comportamento nas extremidades (end behavior): como o coeficiente líder de x^3 é -1 (grau ímpar negativo), temos
\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.

Passo 4

Derivada primeira para monotonia e extremos locais:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+3x+2\bigr) = -3x^{2}+3 = -3(x-1)(x+1).
As raízes são x=-1 e x=1. Testando sinais:
  • Para x<-1: f'<0 → decrescente.
  • Entre -1 e 1: f'>0 → crescente.
  • Para x>1: f'<0 → decrescente.
Logo x=-1 é mínimo local e x=1 é máximo local. Seus valores:
f(-1)=0, \quad f(1)=-1+3+2=4.

Passo 5

Derivada segunda para concavidade e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+3\bigr) = -6x.
Temos ponto de inflexão em x=0 (onde f''(0)=0), com f(0)=2. Para x<0, f''>0 (côncavo para cima); para x>0, f''<0 (côncavo para baixo).

Passo 6

Reunindo tudo:
  • Sai de +\infty quando x\to -\infty, decresce até tocar o eixo em (-1,0), onde faz mínimo local.
  • Depois sobe até o máximo em (1,4), passando pelo ponto de inflexão (0,2).
  • A seguir desce, cruza o eixo em (2,0) e continua para -\infty.
Em cada região a curvatura muda conforme o sinal de f''.

Resposta

O esboço é um cubo com ramo esquerdo indo de +\infty ao mínimo (-1,0), crescendo até o máximo (1,4), e daí decrescendo passando por (2,0) em direção a -\infty, com ponto de inflexão em (0,2).

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