Esboçe o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da função
O conteúdo envolvido é o estudo de polinômios (grau 3): vamos identificar interceptos, comportamento nas extremidades, extremos locais (usando
) e pontos de inflexão (usando
), para depois montar um esboço confiável.
Passo 2
Vamos achar os interceptos com os eixos.
Intercepto em
: basta
, então
logo temos o ponto
.
Interceptos em
: resolvemos
Testando
:
logo
é raiz. Fazendo divisão sintética por
obtemos
de modo que as raízes são
(multiplicidade 2) e
. Portanto, pontos
e
.
Passo 3
Comportamento nas extremidades (end behavior): como o coeficiente líder de
é
(grau ímpar negativo), temos
Passo 4
Derivada primeira para monotonia e extremos locais:
As raízes são
e
. Testando sinais:
- Para
: → decrescente. - Entre
e : → crescente. - Para
: → decrescente.
Logo
é mínimo local e
é máximo local. Seus valores:
Passo 5
Derivada segunda para concavidade e inflexão:
Temos ponto de inflexão em
(onde
), com
. Para
,
(côncavo para cima); para
,
(côncavo para baixo).
Passo 6
Reunindo tudo:
- Sai de
quando , decresce até tocar o eixo em , onde faz mínimo local. - Depois sobe até o máximo em
, passando pelo ponto de inflexão . - A seguir desce, cruza o eixo em
e continua para .
Em cada região a curvatura muda conforme o sinal de
.
Resposta
O esboço é um cubo com ramo esquerdo indo de
ao mínimo
, crescendo até o máximo
, e daí decrescendo passando por
em direção a
, com ponto de inflexão em
.